Google
Câu hỏi: Sân khấu của một rạp xiếc có dạng là hình vuông $ABCD$ với cạnh bằng $10m$, người huấn luyện thú đứng ở vị trí $X$ cách các cạnh $CD$ và $AD$ lần lượt là $2m$ và $5m$ (như hình bên dưới). Một con hổ đang chơi trò đuổi bắt với một con báo. Hổ xuất phát từ $A$ chạy đến $D$ và báo xuất phát từ $D$ chạy đến $C$. Do được huấn luyện kỹ nên trong suốt quá trình di chuyển, tổng khoảng cách từ $D$ đến hai con vật không đổi. Hỏi tổng khoảng cách nhỏ nhất từ người huấn luyện thú đến hổ và báo gần với số nào dưới đây (đơn vị tính bằng mét) ?
A. $7,616$.
B. $10,126$.
C. $4,725$.
D. $7,327$.
Trục tọa độ hóa cho hình vuông $ABCD$ với $D\left( 0;0 \right)$, $A\left( 0;10 \right)$, $C\left( 10;0 \right)$, $B\left( 10;10 \right)$. Khi đó, tọa độ của người huấn luyện là $\left( 5;2 \right)$.
Gọi tọa độ vị trí của Hổ là $\left( 0;y \right),0\le y\le 10$ và của Báo là $\left( x;0 \right),0\le x\le 10$ khi đó $x+y=10$ không đổi.
Nên $y=10-x$ và tổng khoảng cách từ người huấn luyện đến hai con thú là
$P=\sqrt{25+{{\left( 2-y \right)}^{2}}}+\sqrt{{{\left( 5-x \right)}^{2}}+4}$
Thay $y=10-x$ vào $P$ ta được $P=\sqrt{25+{{\left( x-8 \right)}^{2}}}+\sqrt{{{\left( 5-x \right)}^{2}}+4}$.
Xét $f\left( x \right)=\sqrt{25+{{\left( x-8 \right)}^{2}}}+\sqrt{{{\left( 5-x \right)}^{2}}+4},0\le x\le 10$
Ta có $f'\left( x \right)=\dfrac{x-8}{\sqrt{25+{{\left( 2-a+x \right)}^{2}}}}+\dfrac{x-5}{\sqrt{{{\left( x-5 \right)}^{2}}+4}}$
Khi đó $f'\left( x \right)=0\Rightarrow \left( 8-x \right)\sqrt{{{\left( x-5 \right)}^{2}}+4}=\left( x-5 \right)\sqrt{{{\left( x-8 \right)}^{2}}+25}$.
$\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 4{{\left( x-8 \right)}^{2}}=25{{\left( x-5 \right)}^{2}} \\
& \left( 8-x \right)\left( x-5 \right)\ge 0 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 2\left( 8-x \right)=5\left( x-5 \right) \\
& 5\le x\le 8 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=\dfrac{41}{7} \\
& 5\le x\le 8 \\
\end{aligned} \right.$.
Mà $f\left( \dfrac{41}{7} \right)=\sqrt{25+{{\left( -\dfrac{15}{7} \right)}^{2}}}+\sqrt{4+{{\left( -\dfrac{6}{7} \right)}^{2}}}\approx 7,616$ $\left( m \right)$.
$f\left( 5 \right)=\sqrt{25+9}+2\approx 7,831$ $\left( m \right)$.
$f\left( 8 \right)=5+\sqrt{13}\approx 8,61$ $\left( m \right)$.
Vậy ${{P}_{\min }}\approx 7,616$ $\left( m \right)$.
B. $10,126$.
C. $4,725$.
D. $7,327$.
Trục tọa độ hóa cho hình vuông $ABCD$ với $D\left( 0;0 \right)$, $A\left( 0;10 \right)$, $C\left( 10;0 \right)$, $B\left( 10;10 \right)$. Khi đó, tọa độ của người huấn luyện là $\left( 5;2 \right)$.
Gọi tọa độ vị trí của Hổ là $\left( 0;y \right),0\le y\le 10$ và của Báo là $\left( x;0 \right),0\le x\le 10$ khi đó $x+y=10$ không đổi.
Nên $y=10-x$ và tổng khoảng cách từ người huấn luyện đến hai con thú là
$P=\sqrt{25+{{\left( 2-y \right)}^{2}}}+\sqrt{{{\left( 5-x \right)}^{2}}+4}$
Thay $y=10-x$ vào $P$ ta được $P=\sqrt{25+{{\left( x-8 \right)}^{2}}}+\sqrt{{{\left( 5-x \right)}^{2}}+4}$.
Xét $f\left( x \right)=\sqrt{25+{{\left( x-8 \right)}^{2}}}+\sqrt{{{\left( 5-x \right)}^{2}}+4},0\le x\le 10$
Ta có $f'\left( x \right)=\dfrac{x-8}{\sqrt{25+{{\left( 2-a+x \right)}^{2}}}}+\dfrac{x-5}{\sqrt{{{\left( x-5 \right)}^{2}}+4}}$
Khi đó $f'\left( x \right)=0\Rightarrow \left( 8-x \right)\sqrt{{{\left( x-5 \right)}^{2}}+4}=\left( x-5 \right)\sqrt{{{\left( x-8 \right)}^{2}}+25}$.
$\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 4{{\left( x-8 \right)}^{2}}=25{{\left( x-5 \right)}^{2}} \\
& \left( 8-x \right)\left( x-5 \right)\ge 0 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 2\left( 8-x \right)=5\left( x-5 \right) \\
& 5\le x\le 8 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=\dfrac{41}{7} \\
& 5\le x\le 8 \\
\end{aligned} \right.$.
Mà $f\left( \dfrac{41}{7} \right)=\sqrt{25+{{\left( -\dfrac{15}{7} \right)}^{2}}}+\sqrt{4+{{\left( -\dfrac{6}{7} \right)}^{2}}}\approx 7,616$ $\left( m \right)$.
$f\left( 5 \right)=\sqrt{25+9}+2\approx 7,831$ $\left( m \right)$.
$f\left( 8 \right)=5+\sqrt{13}\approx 8,61$ $\left( m \right)$.
Vậy ${{P}_{\min }}\approx 7,616$ $\left( m \right)$.
Đáp án A.