Google
Câu hỏi: Quay hình chữ nhật ABCD quanh trục AB cố định, đường gấp khúc ADCB cho ta hình trụ (T). Gọi $\Delta MNP$ là tam giác đều nội tiếp đường tròn đáy (không chứa điểm A). Tính tỷ số giữa thể tích khối trụ và thể tích khối chóp A.MNP.
A. $\dfrac{4}{3\sqrt{3}}\pi .$
B. $\dfrac{4}{\sqrt{3}}\pi .$
C. $\dfrac{\sqrt{3}\pi }{4}.$
D. $\dfrac{4}{3}\pi .$
B. $\dfrac{4}{\sqrt{3}}\pi .$
C. $\dfrac{\sqrt{3}\pi }{4}.$
D. $\dfrac{4}{3}\pi .$
Hình trụ (T) có bán kính r = BC và chiều cao h = CD. Thể tích khối trụ là $V=\pi {{r}^{2}}h$
Gọi cạnh của $\Delta MNP$ là x, khi đó bán kính đường tròn ngoại tiếp $\Delta MNP$ $r=\dfrac{2}{3}\dfrac{x\sqrt{3}}{2}\Leftrightarrow x=r\sqrt{3}.$
Khối chóp A.MNP có đáy là $\Delta MNP$ đều và chiều cao AB = DC = h
Thể tích khối chóp $V'=\dfrac{1}{3}AB.{{S}_{\Delta MNP}}=\dfrac{1}{3}h\dfrac{{{\left( r\sqrt{3} \right)}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\dfrac{\sqrt{3}{{r}^{2}}h}{4}.$
Tỷ số giữa thể tích khối trụ và thể tích khối chóp A.MNP là $\dfrac{V}{V'}=\dfrac{\pi {{r}^{2}}h}{\dfrac{\sqrt{3}{{r}^{2}}h}{4}}=\dfrac{4\pi }{\sqrt{3}}.$
Gọi cạnh của $\Delta MNP$ là x, khi đó bán kính đường tròn ngoại tiếp $\Delta MNP$ $r=\dfrac{2}{3}\dfrac{x\sqrt{3}}{2}\Leftrightarrow x=r\sqrt{3}.$
Khối chóp A.MNP có đáy là $\Delta MNP$ đều và chiều cao AB = DC = h
Thể tích khối chóp $V'=\dfrac{1}{3}AB.{{S}_{\Delta MNP}}=\dfrac{1}{3}h\dfrac{{{\left( r\sqrt{3} \right)}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\dfrac{\sqrt{3}{{r}^{2}}h}{4}.$
Tỷ số giữa thể tích khối trụ và thể tích khối chóp A.MNP là $\dfrac{V}{V'}=\dfrac{\pi {{r}^{2}}h}{\dfrac{\sqrt{3}{{r}^{2}}h}{4}}=\dfrac{4\pi }{\sqrt{3}}.$
Đáp án B.