Phương trình $\sqrt{x-512}+\sqrt{1024-x}=16+4\sqrt[8]{\left( x-512...

Đặt $\left\{ \begin{aligned}
& a=\sqrt[8]{x-512} \\
& b=\sqrt[8]{1024-x} \\
\end{aligned} \right.\left( a,b\ge 0 \right) $ khi đó $ {{a}^{8}}+{{b}^{8}}=x-512+1024-x=512$(1).
Và phương trình trở thành: ${{a}^{4}}+{{b}^{4}}=4ab+16$ mà ${{a}^{8}}+{{b}^{8}}={{\left( {{a}^{4}}+{{b}^{4}} \right)}^{2}}-2{{a}^{4}}{{b}^{4}}$. (2).
Nên từ (1), (2) suy ra $512={{\left( 4ab+16 \right)}^{2}}-2{{a}^{4}}{{b}^{4}}\xrightarrow[{}]{t=ab}16{{\left( t+4 \right)}^{2}}-2{{t}^{4}}=512$ (*).
Phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt $t=4;t={{t}_{0}}\approx 1,7625$.
Mà ${{a}^{4}}+{{b}^{4}}=\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)-2{{a}^{2}}{{b}^{2}}=4ab+16\Rightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=\sqrt{2{{t}^{2}}+4t+16}$.
Khi đó $\left\{ \begin{aligned}
& {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=8 \\
& ab=4 \\
\end{aligned} \right. $ hoặc $ \left\{ \begin{aligned}
& {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=\sqrt{2t_{0}^{2}+4{{t}_{0}}+16} \\
& ab={{t}_{0}} \\
\end{aligned} \right. $ suy ra có 3 nghiệm $ a$ dương.
Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt.