Phương trình $\sqrt{x-512}+\sqrt{1024-x}=16+4\sqrt[8]{\left( x-512...

The Knowledge · 13/1/22

Câu hỏi: Phương trình

\sqrt{x - 512} + \sqrt{1024 - x} = 16 + 4 \sqrt[8]{(x - 512) (1024 - x)}

có bao nhiêu nghiệm?
A. 4.
B. 2.
C. 3.
D. 8.

Đặt

{\begin{aligned} a = \sqrt[8]{x - 512} \\ b = \sqrt[8]{1024 - x} \end{aligned} (a, b \geq 0)

khi đó

a^{8} + b^{8} = x - 512 + 1024 - x = 512

(1).
Và phương trình trở thành:

a^{4} + b^{4} = 4 a b + 16

mà

a^{8} + b^{8} = {(a^{4} + b^{4})}^{2} - 2 a^{4} b^{4}

. (2).
Nên từ (1), (2) suy ra

512 = {(4 a b + 16)}^{2} - 2 a^{4} b^{4} \to_{}^{t = a b} 16 {(t + 4)}^{2} - 2 t^{4} = 512

(*).
Phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt

t = 4; t = t_{0} \approx 1, 7625

.
Mà

a^{4} + b^{4} = (a^{2} + b^{2}) - 2 a^{2} b^{2} = 4 a b + 16 \Rightarrow a^{2} + b^{2} = \sqrt{2 t^{2} + 4 t + 16}

.
Khi đó

{\begin{aligned} a^{2} + b^{2} = 8 \\ a b = 4 \end{aligned}

hoặc

{\begin{aligned} a^{2} + b^{2} = \sqrt{2 t_{0}^{2} + 4 t_{0} + 16} \\ a b = t_{0} \end{aligned}

suy ra có 3 nghiệm

a

dương.
Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt.

Đáp án C.