Google
Câu hỏi: Phương trình $\sqrt{2021+{{\log }_{8}}x}-\sqrt{4{{\log }_{8}}x}={{\log }_{2}}x-2021$ có bao nhiêu nghiệm nguyên?
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 0.
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 0.
Điều kiện xác định: $\left\{ \begin{aligned}
& 4{{\log }_{8}}x\ge 0 \\
& 2021+{{\log }_{8}}x\ge 0 \\
& x>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow x\ge 1$. Ta có
$\begin{aligned}
& \sqrt{2021+{{\log }_{8}}x}-\sqrt{4{{\log }_{8}}x}={{\log }_{2}}x-2021 \\
& \Leftrightarrow \sqrt{2021+\dfrac{1}{3}{{\log }_{2}}x}-\sqrt{\dfrac{4}{3}{{\log }_{2}}x}={{\log }_{2}}x-2021 \\
& \Leftrightarrow \sqrt{2021+\dfrac{1}{3}{{\log }_{2}}x}-\sqrt{\dfrac{4}{3}{{\log }_{2}}x}=\dfrac{4}{3}{{\log }_{2}}x-\left( \dfrac{1}{3}{{\log }_{2}}x+2021 \right) \\
& \Leftrightarrow \left( \dfrac{1}{3}{{\log }_{2}}x+2021 \right)+\sqrt{2021+\dfrac{1}{3}{{\log }_{2}}x}=\dfrac{4}{3}{{\log }_{2}}x+\sqrt{\dfrac{4}{3}{{\log }_{2}}x} (2) \\
\end{aligned}$
Xét hàm số $f(t)={{t}^{2}}+t$ với $t\ge 0$. Vì $f'(t)=2t+1>0, \forall t\ge 0$ nên $f(t)={{t}^{2}}+t$ là hàm số đồng biến trên $\left[ 0;+\infty \right)$. Từ (2) ta có
$\sqrt{2021+\dfrac{1}{3}{{\log }_{2}}x}=\sqrt{\dfrac{4}{3}{{\log }_{2}}x}\Leftrightarrow 2021+\dfrac{1}{3}{{\log }_{2}}x=\dfrac{4}{3}{{\log }_{2}}x\Leftrightarrow {{\log }_{2}}x=2021\Leftrightarrow x={{2}^{2021}}$ (t/m)
Vậy phương trình có $1$ nghiệm nguyên.
Cách 2
Điều kiện $\left\{ \begin{aligned}
& {{\log }_{8}}x\ge 0 \\
& x>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow x\ge 1$
Ta có $\sqrt{2021+{{\log }_{8}}x}-\sqrt{4{{\log }_{8}}x}={{\log }_{2}}x-2021$
$\Leftrightarrow \left( 2021+{{\log }_{8}}x \right)-4{{\log }_{8}}x+\sqrt{2021+{{\log }_{8}}x}-\sqrt{4{{\log }_{8}}x}=0$
$\Leftrightarrow \left( \sqrt{2021+{{\log }_{8}}x}-\sqrt{4{{\log }_{8}}x} \right)\left( \sqrt{2021+{{\log }_{8}}x}+\sqrt{4{{\log }_{8}}x}+1 \right)=0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \sqrt{2021+{{\log }_{8}}x}-\sqrt{4{{\log }_{8}}x}=0 \\
& \sqrt{2021+{{\log }_{8}}x}+\sqrt{4{{\log }_{8}}x}+1=0 \left( vn \right) \\
\end{aligned} \right. $ $ \Leftrightarrow \sqrt{2021+{{\log }_{8}}x}=\sqrt{4{{\log }_{8}}x}\Leftrightarrow {{\log }_{2}}x=2021\Leftrightarrow x={{2}^{2021}}$(nhận)
$\Rightarrow $ Phương trình có môt nghiệm nguyên.
& 4{{\log }_{8}}x\ge 0 \\
& 2021+{{\log }_{8}}x\ge 0 \\
& x>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow x\ge 1$. Ta có
$\begin{aligned}
& \sqrt{2021+{{\log }_{8}}x}-\sqrt{4{{\log }_{8}}x}={{\log }_{2}}x-2021 \\
& \Leftrightarrow \sqrt{2021+\dfrac{1}{3}{{\log }_{2}}x}-\sqrt{\dfrac{4}{3}{{\log }_{2}}x}={{\log }_{2}}x-2021 \\
& \Leftrightarrow \sqrt{2021+\dfrac{1}{3}{{\log }_{2}}x}-\sqrt{\dfrac{4}{3}{{\log }_{2}}x}=\dfrac{4}{3}{{\log }_{2}}x-\left( \dfrac{1}{3}{{\log }_{2}}x+2021 \right) \\
& \Leftrightarrow \left( \dfrac{1}{3}{{\log }_{2}}x+2021 \right)+\sqrt{2021+\dfrac{1}{3}{{\log }_{2}}x}=\dfrac{4}{3}{{\log }_{2}}x+\sqrt{\dfrac{4}{3}{{\log }_{2}}x} (2) \\
\end{aligned}$
Xét hàm số $f(t)={{t}^{2}}+t$ với $t\ge 0$. Vì $f'(t)=2t+1>0, \forall t\ge 0$ nên $f(t)={{t}^{2}}+t$ là hàm số đồng biến trên $\left[ 0;+\infty \right)$. Từ (2) ta có
$f\left( \sqrt{2021+\dfrac{1}{3}{{\log }_{2}}x} \right)=f\left( \sqrt{\dfrac{4}{3}{{\log }_{2}}x} \right)$.
Suy ra$\sqrt{2021+\dfrac{1}{3}{{\log }_{2}}x}=\sqrt{\dfrac{4}{3}{{\log }_{2}}x}\Leftrightarrow 2021+\dfrac{1}{3}{{\log }_{2}}x=\dfrac{4}{3}{{\log }_{2}}x\Leftrightarrow {{\log }_{2}}x=2021\Leftrightarrow x={{2}^{2021}}$ (t/m)
Vậy phương trình có $1$ nghiệm nguyên.
Cách 2
Điều kiện $\left\{ \begin{aligned}
& {{\log }_{8}}x\ge 0 \\
& x>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow x\ge 1$
Ta có $\sqrt{2021+{{\log }_{8}}x}-\sqrt{4{{\log }_{8}}x}={{\log }_{2}}x-2021$
$\Leftrightarrow \left( 2021+{{\log }_{8}}x \right)-4{{\log }_{8}}x+\sqrt{2021+{{\log }_{8}}x}-\sqrt{4{{\log }_{8}}x}=0$
$\Leftrightarrow \left( \sqrt{2021+{{\log }_{8}}x}-\sqrt{4{{\log }_{8}}x} \right)\left( \sqrt{2021+{{\log }_{8}}x}+\sqrt{4{{\log }_{8}}x}+1 \right)=0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \sqrt{2021+{{\log }_{8}}x}-\sqrt{4{{\log }_{8}}x}=0 \\
& \sqrt{2021+{{\log }_{8}}x}+\sqrt{4{{\log }_{8}}x}+1=0 \left( vn \right) \\
\end{aligned} \right. $ $ \Leftrightarrow \sqrt{2021+{{\log }_{8}}x}=\sqrt{4{{\log }_{8}}x}\Leftrightarrow {{\log }_{2}}x=2021\Leftrightarrow x={{2}^{2021}}$(nhận)
$\Rightarrow $ Phương trình có môt nghiệm nguyên.
Đáp án A.