Phương trình $\sin 5x-\sin x=0$ có bao nhiêu nghiệm thuộc đoạn $\left[ -2020\pi ;2020\pi \right]?$

Ta có: $\sin 5x-\sin x=0\Leftrightarrow \sin 5x=\sin x$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& 5x=x+k2\pi \\
& 5x=\pi -x+k2\pi \\
\end{aligned} \right.\left( k\in \mathbb{Z} \right)\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=\dfrac{k\pi }{2} \\
& x=\dfrac{\pi }{6}+\dfrac{k\pi }{3} \\
\end{aligned} \right.\left( k\in \mathbb{Z} \right)$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=\dfrac{\pi }{2}+k\pi \\
& x=k\pi \\
& x=\dfrac{\pi }{6}+\dfrac{k\pi }{3} \\
\end{aligned} \right.\left( k\in \mathbb{Z} \right)\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=k\pi \\
& x=\dfrac{\pi }{6}+\dfrac{k\pi }{3} \\
\end{aligned} \right.\left( k\in \mathbb{Z} \right).$
(Vì họ nghiệm $x=\dfrac{\pi }{2}+k\pi $ nằm trong họ nghiệm $x=\dfrac{\pi }{6}+\dfrac{k\pi }{3}\left( k\in \mathbb{Z} \right).$
Với $x=k\pi ,\left( k\in \mathbb{Z} \right),$ ta có: $-2020\pi \le k\pi \le 2020\pi \Leftrightarrow -2020\le k\le 2020.$
Suy ra có 4041 giá trị nguyên của $k$ hay phương trình có 4041 nghiệm.
Với $x=\dfrac{\pi }{6}+\dfrac{k\pi }{3},\left( k\in \mathbb{Z} \right)$ ta có: $-2020\le \dfrac{\pi }{6}+\dfrac{k\pi }{3}\le 2020\pi \Leftrightarrow -\dfrac{12121}{2}\le k\le \dfrac{12119}{2}.$
Suy ra có 12120 giá trị nguyên của $k$ hay phương trình có 12120 nghiệm.
Các nghiệm này phân biệt nên phương trình có $4041+12120=16161$ nghiệm.