Google
Câu hỏi: Phương trình mặt phẳng đi qua điểm $A\left( 1;1;1 \right)$ và vuông góc với hai mặt phẳng $\left( P \right);x+y-z-2=0$, $\left( Q \right):x-y+z-1=0$ là
A. $x+y+z-3=0$
B. $x-2y+z=0$
C. $x+z-2=0$
D. $x+y-2=0$
A. $x+y+z-3=0$
B. $x-2y+z=0$
C. $x+z-2=0$
D. $x+y-2=0$
Mặt phẳng $\left( P \right)$ có véctơ pháp tuyến $\overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}}=\left( 1;1;-1 \right)$ mặt phẳng $\left( Q \right)$ có véctơ pháp tuyến $\overrightarrow{{{n}_{\left( Q \right)}}}=\left( 1;-1;1 \right)$.
Khi đó $\left[ \overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}};\overrightarrow{{{n}_{\left( Q \right)}}} \right]=\left( 0;-2;-2 \right)=-2\left( 0;1;1 \right)$.
Mặt phẳng $\left( R \right)$ đi qua $A\left( 1;1;1 \right)$ và vuông góc với cả $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$ nên ta chọn
$\overrightarrow{{{n}_{\left( R \right)}}}=-\dfrac{1}{2}\left[ \overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}};\overrightarrow{{{n}_{\left( Q \right)}}} \right]=\left( 0;1;1 \right)$ làm véctơ pháp tuyến.
$\Rightarrow \left( R \right):0\left( x-1 \right)+1\left( y-1 \right)+1\left( z-1 \right)=0$ hay $\left( R \right):y+z-2=0$.
Khi đó $\left[ \overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}};\overrightarrow{{{n}_{\left( Q \right)}}} \right]=\left( 0;-2;-2 \right)=-2\left( 0;1;1 \right)$.
Mặt phẳng $\left( R \right)$ đi qua $A\left( 1;1;1 \right)$ và vuông góc với cả $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$ nên ta chọn
$\overrightarrow{{{n}_{\left( R \right)}}}=-\dfrac{1}{2}\left[ \overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}};\overrightarrow{{{n}_{\left( Q \right)}}} \right]=\left( 0;1;1 \right)$ làm véctơ pháp tuyến.
$\Rightarrow \left( R \right):0\left( x-1 \right)+1\left( y-1 \right)+1\left( z-1 \right)=0$ hay $\left( R \right):y+z-2=0$.
Đáp án D.