Phương trình mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua $M(2 ; 4 ; 5)$ và cắt ba...

$a x+b y+c z-60=0$ $\Leftrightarrow \dfrac{x}{\dfrac{60}{a}}+\dfrac{y}{\dfrac{60}{b}}+\dfrac{z}{\dfrac{60}{c}}=1\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left( \alpha \right)\cap Ox=A\left( \dfrac{60}{a};0;0 \right),\left( \alpha \right)\cap Oy=B\left( 0;\dfrac{60}{b};0 \right) \\
& \left( \alpha \right)\cap Oz=C\left( 0;0;\dfrac{60}{c} \right) \\
\end{aligned} \right. $, $ \left( a>0,b>0,c>0 \right)$.
Thể tích khối tứ diện là $V=\dfrac{1}{6}\dfrac{60}{a}.\dfrac{60}{b}.\dfrac{60}{c}=\dfrac{36000}{abc}$ (1)
Do mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua $M(2 ; 4 ; 5)$ ta có $2a+4b+5c-60=0$.
Theo bất đẳng thức Cô si ta có: $60=2a+4b+5c\ge 3\sqrt[3]{40abc}\Rightarrow abc\le \dfrac{{{20}^{2}}}{2}\Rightarrow \dfrac{1}{abc}\ge \dfrac{1}{200}$ (2).
Từ (1) và (2) ta được $V=\dfrac{36000}{abc}\ge 180$.
Dấu " = '' xảy ra khi $\left\{ \begin{aligned}
& 2a+4b+5c-60=0 \\
& 2a=4b=5c \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 6a-60=0 \\
& 2a=4b=5c \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=10 \\
& b=5,c=4 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow a+b+c=19$.