Phương trình mặt phẳng $(α)$ đi qua $M (2; 4; 5)$ và cắt ba...

The Knowledge · 28/3/22

Câu hỏi: Phương trình mặt phẳng

(α)

đi qua

M (2; 4; 5)

và cắt ba tia

O x, O y, O z

lần lượt tại ba điểm sao cho thể tích tứ diện

O A B C

nhỏ nhất là

a x + b y + c z - 60 = 0

. Tính

a + b + c

.
A. 19.
B. 32.
C. 30.
D. 51.

a x + b y + c z - 60 = 0

\Leftrightarrow \frac{x}{\frac{60}{a}} + \frac{y}{\frac{60}{b}} + \frac{z}{\frac{60}{c}} = 1 \Rightarrow {\begin{aligned} (α) \cap O x = A (\frac{60}{a}; 0; 0), (α) \cap O y = B (0; \frac{60}{b}; 0) \\ (α) \cap O z = C (0; 0; \frac{60}{c}) \end{aligned}

,

(a > 0, b > 0, c > 0)

.
Thể tích khối tứ diện là

V = \frac{1}{6} \frac{60}{a} . \frac{60}{b} . \frac{60}{c} = \frac{36000}{a b c}

(1)
Do mặt phẳng

(α)

đi qua

M (2; 4; 5)

ta có

2 a + 4 b + 5 c - 60 = 0

.
Theo bất đẳng thức Cô si ta có:

60 = 2 a + 4 b + 5 c \geq 3 \sqrt[3]{40 a b c} \Rightarrow a b c \leq \frac{20^{2}}{2} \Rightarrow \frac{1}{a b c} \geq \frac{1}{200}

(2).
Từ (1) và (2) ta được

V = \frac{36000}{a b c} \geq 180

.
Dấu " = '' xảy ra khi

{\begin{aligned} 2 a + 4 b + 5 c - 60 = 0 \\ 2 a = 4 b = 5 c \end{aligned} \Leftrightarrow {\begin{aligned} 6 a - 60 = 0 \\ 2 a = 4 b = 5 c \end{aligned} \Leftrightarrow {\begin{aligned} a = 10 \\ b = 5, c = 4 \end{aligned} \Rightarrow a + b + c = 19

.

Đáp án A.

Phương trình mặt phẳng (α) đi qua M(2;4;5) và cắt ba...