Phương trình ${{\log }_{3}}\left( \cot x \right)={{\log...

${{\log }_{3}}\left( \cot x \right)={{\log }_{4}}\left( \cos x \right) \left( 1 \right)$
ĐKXĐ: $\left\{ \begin{aligned}
& \operatorname{s}\text{inx}>0 \\
& \cos x>0 \\
\end{aligned} \right.$
Đặt ${{\log }_{3}}\left( \cot x \right)=t$, ta được: $\left\{ \begin{aligned}
& \cot x={{3}^{t}} \\
& \cos x={{4}^{t}} \\
\end{aligned} \right. $ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \tan x=\dfrac{1}{{{3}^{t}}} \\
& \cos x={{4}^{t}} \\
\end{aligned} \right. \left( I \right) $ $ \Rightarrow 1+\dfrac{1}{{{9}^{t}}}=\dfrac{1}{{{16}^{t}}} $ $ \Leftrightarrow {{16}^{t}}+{{\left( \dfrac{16}{9} \right)}^{t}}=1 $ $ \Leftrightarrow f\left( t \right)=f\left( -\dfrac{1}{2} \right) \left( 1 \right) $, với $ f\left( t \right)={{16}^{t}}+{{\left( \dfrac{16}{9} \right)}^{t}} $ là hàm số đồng biến trên $ \mathbb{R}$.
Suy ra: $\left( 1 \right)\Leftrightarrow t=-\dfrac{1}{2}$. Thay vào $\left( I \right)$ ta được: $\left\{ \begin{aligned}
& \tan x=\sqrt{3} \\
& \cos x=\dfrac{1}{2} \\
\end{aligned} \right. $ $ \Leftrightarrow x=\dfrac{\pi }{3}+k2\pi \left( k\in \mathbb{Z} \right)$.
Mà $x\in \left( 0 ; 2022\pi \right)$ nên: $0<\dfrac{\pi }{3}+k2\pi <2022\pi $ $\Leftrightarrow -\dfrac{1}{6}<k<1011-\dfrac{1}{6}$
Suy ra: $k\in \left\{ 0 ; 1 ; ... ; 1010 \right\}$.
Vậy phương trình đã cho có 1011 nghiệm trong khoảng $\left( 0 ; 2022\pi \right)$.