Google
Câu hỏi: Phương trình ${{\log }_{3}}\dfrac{2x-1}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}=3{{x}^{2}}-8x+5$ có hai nghiệm là a và $\dfrac{a}{b}$ (với $a,b\in {{\mathbb{N}}^{*}}$ và $\dfrac{a}{b}$ là phân số tối giản). Giá trị của b là:
A. 1.
B. 4.
C. 2.
D. 3.
A. 1.
B. 4.
C. 2.
D. 3.
Điều kiện: $\dfrac{1}{2}<x\ne 1$.
Khi đó: $\begin{aligned}
& \ \ \ \ \ {{\log }_{3}}\dfrac{2x-1}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}=3{{x}^{2}}-8x+5\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left( 2x-1 \right)-{{\log }_{3}}{{\left( x-1 \right)}^{2}}=3{{\left( x-1 \right)}^{2}}-\left( 2x-1 \right)+1 \\
& \Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left( 2x-1 \right)+\left( 2x-1 \right)=3{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\log }_{3}}{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\log }_{3}}3 \\
& \Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left( 2x-1 \right)+\left( 2x-1 \right)=3{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\log }_{3}}\left[ 3{{\left( x-1 \right)}^{2}} \right]\ \ \ \left( * \right) \\
\end{aligned}$
Xét hàm $y=f\left( t \right)={{\log }_{3}}t+t$ với $t>0$ có $f'\left( t \right)=\dfrac{1}{t\ln 3}+1>0,\forall t>0$.
Do đó hàm số $y=f\left( t \right)$ đồng biến trên $\left( 0;+\infty \right)$.
Phương trình (*) là $f\left( 2x-1 \right)=f\left( 3{{\left( x-1 \right)}^{2}} \right)\Leftrightarrow \left( 2x-1 \right)=3{{\left( x-1 \right)}^{2}}$
$\Leftrightarrow 2x-1=3\left( {{x}^{2}}-2x+1 \right)\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-8x+4=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=2 \\
& x=\dfrac{2}{3} \\
\end{aligned} \right.\left( tm \right).$
Vậy phương trình có nghiệm 2 và nên $a=2,b=3$.
Khi đó: $\begin{aligned}
& \ \ \ \ \ {{\log }_{3}}\dfrac{2x-1}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}=3{{x}^{2}}-8x+5\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left( 2x-1 \right)-{{\log }_{3}}{{\left( x-1 \right)}^{2}}=3{{\left( x-1 \right)}^{2}}-\left( 2x-1 \right)+1 \\
& \Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left( 2x-1 \right)+\left( 2x-1 \right)=3{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\log }_{3}}{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\log }_{3}}3 \\
& \Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left( 2x-1 \right)+\left( 2x-1 \right)=3{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\log }_{3}}\left[ 3{{\left( x-1 \right)}^{2}} \right]\ \ \ \left( * \right) \\
\end{aligned}$
Xét hàm $y=f\left( t \right)={{\log }_{3}}t+t$ với $t>0$ có $f'\left( t \right)=\dfrac{1}{t\ln 3}+1>0,\forall t>0$.
Do đó hàm số $y=f\left( t \right)$ đồng biến trên $\left( 0;+\infty \right)$.
Phương trình (*) là $f\left( 2x-1 \right)=f\left( 3{{\left( x-1 \right)}^{2}} \right)\Leftrightarrow \left( 2x-1 \right)=3{{\left( x-1 \right)}^{2}}$
$\Leftrightarrow 2x-1=3\left( {{x}^{2}}-2x+1 \right)\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-8x+4=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=2 \\
& x=\dfrac{2}{3} \\
\end{aligned} \right.\left( tm \right).$
Vậy phương trình có nghiệm 2 và nên $a=2,b=3$.
Đáp án D.