Phương trình ${{\log }_{2}}\left( \cot x-\tan x \right)=1+\cos...

Do $x\in \left( 0;\dfrac{\pi }{4} \right)$ nên $\left\{ \begin{aligned}
& \cot x>1 \\
& 0<\tan x<1 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \cot x-\tan x>0$.
$\cot x-\tan x=\dfrac{\cos x}{\sin x}-\dfrac{\sin x}{\cot x}=\dfrac{2\cos 2x}{\sin 2x}$ nên phương trình đã cho tương đương
${{\log }_{2}}\left( \dfrac{2\cos 2x}{\sin 2x} \right)=1+\cos 2x-\sin 2x$
$\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\cos 2x-{{\log }_{2}}\sin 2x=\cos 2x-\sin 2x$ (do $0<\sin 2x,\cos 2x<1,\forall x\in \left( 0;\dfrac{\pi }{4} \right)$ )
$\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\cos 2x-\cos 2x={{\log }_{2}}\sin 2x-\sin 2x$.
Xét hàm số $f\left( t \right)={{\log }_{2}}t-t$ với $t\in \left( 0;1 \right)$.
Ta có $f'\left( t \right)=\dfrac{1}{t\ln 2}-1>0,\forall t\in \left( 0;1 \right)$ (vì $0<t<1\Leftrightarrow 0<t\ln 2<\ln 2<\ln e=1$ )
$\Rightarrow \dfrac{1}{t\ln 2}>1\Leftrightarrow \dfrac{1}{t\ln 2}-1>0$
Suy ra hàm số $f\left( t \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( 0;1 \right)$.
Suy ra $f\left( \cos 2x \right)=f\left( \sin 2x \right)\Leftrightarrow \cos 2x=\sin 2x\Leftrightarrow \tan 2x=1\Rightarrow x=\dfrac{\pi }{8}$.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là $x=\dfrac{\pi }{8}$.