Phương trình ${{\log }_{2}}\left( \cot x-\tan x \right)=1+\cos...

The Knowledge · 15/12/21

Câu hỏi: Phương trình

\log_{2} (\cot x - \tan x) = 1 + \cos 2 x - \sin 2 x

với

x \in (0; \frac{π}{4})

có bao nhiêu nghiệm?
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. 3.

Do

x \in (0; \frac{π}{4})

nên

{\begin{aligned} \cot x > 1 \\ 0 < \tan x < 1 \end{aligned} \Rightarrow \cot x - \tan x > 0

.

\cot x - \tan x = \frac{\cos x}{\sin x} - \frac{\sin x}{\cot x} = \frac{2 \cos 2 x}{\sin 2 x}

nên phương trình đã cho tương đương

\log_{2} (\frac{2 \cos 2 x}{\sin 2 x}) = 1 + \cos 2 x - \sin 2 x

\Leftrightarrow \log_{2} \cos 2 x - \log_{2} \sin 2 x = \cos 2 x - \sin 2 x

(do

0 < \sin 2 x, \cos 2 x < 1, \forall x \in (0; \frac{π}{4})

)

\Leftrightarrow \log_{2} \cos 2 x - \cos 2 x = \log_{2} \sin 2 x - \sin 2 x

.
Xét hàm số

f (t) = \log_{2} t - t

với

t \in (0; 1)

.
Ta có

f^{'} (t) = \frac{1}{t \ln 2} - 1 > 0, \forall t \in (0; 1)

(vì

0 < t < 1 \Leftrightarrow 0 < t \ln 2 < \ln 2 < \ln e = 1

)

\Rightarrow \frac{1}{t \ln 2} > 1 \Leftrightarrow \frac{1}{t \ln 2} - 1 > 0

Suy ra hàm số

f (t)

đồng biến trên khoảng

(0; 1)

.
Suy ra

f (\cos 2 x) = f (\sin 2 x) \Leftrightarrow \cos 2 x = \sin 2 x \Leftrightarrow \tan 2 x = 1 \Rightarrow x = \frac{π}{8}

.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là

x = \frac{π}{8}

.

Đáp án B.