Google
Câu hỏi: Phương trình ${{\log }_{2}}\dfrac{x-2}{\sqrt{x-3}}={{\log }_{3}}\dfrac{\sqrt{x-3}}{x-2}$ có mấy nghiệm?
A. 1.
B. 2.
C. 0.
D. 3.
A. 1.
B. 2.
C. 0.
D. 3.
Ta có:
${{\log }_{2}}\dfrac{x-2}{\sqrt{x-3}}={{\log }_{3}}\dfrac{\sqrt{x-3}}{x-2}\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x>3 \\
& {{\log }_{2}}\left( x-2 \right)+{{\log }_{3}}\left( x-2 \right)={{\log }_{2}}\sqrt{x-3}+{{\log }_{3}}\sqrt{x-3} \\
\end{aligned} \right.\left( 1 \right)$
Xét hàm $f\left( t \right)={{\log }_{2}}t+{{\log }_{3}}t$ là hàm đồng biến trên khoảng $\left( 0;+\infty \right).$
Khi đó từ hệ phương trình $\left( 1 \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x-2=\sqrt{x-3} \\
& x>3 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}-5x+7=0 \\
& x>3 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow x=\dfrac{5+\sqrt{21}}{2}.$
Vậy phương trình có một nghiệm.
${{\log }_{2}}\dfrac{x-2}{\sqrt{x-3}}={{\log }_{3}}\dfrac{\sqrt{x-3}}{x-2}\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x>3 \\
& {{\log }_{2}}\left( x-2 \right)+{{\log }_{3}}\left( x-2 \right)={{\log }_{2}}\sqrt{x-3}+{{\log }_{3}}\sqrt{x-3} \\
\end{aligned} \right.\left( 1 \right)$
Xét hàm $f\left( t \right)={{\log }_{2}}t+{{\log }_{3}}t$ là hàm đồng biến trên khoảng $\left( 0;+\infty \right).$
Khi đó từ hệ phương trình $\left( 1 \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x-2=\sqrt{x-3} \\
& x>3 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}-5x+7=0 \\
& x>3 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow x=\dfrac{5+\sqrt{21}}{2}.$
Vậy phương trình có một nghiệm.
Đáp án A.