Google
Câu hỏi: Phương trình ${{2020}^{x}}+\dfrac{1}{6-x}-\dfrac{1}{x-12}=2019$ có số nghiệm thực là
A. 3.
B. 0.
C. 2019.
D. 1.
A. 3.
B. 0.
C. 2019.
D. 1.
Điều kiện $x\ne 6;x\ne 12$.
Xét hàm số $f\left( x \right)={{2020}^{x}}+\dfrac{1}{6-x}-\dfrac{1}{x-12}-2019$, với $x\in \left( -\infty ;1 \right)$ ta có:
${f}'\left( x \right)={{2020}^{x}}\ln 2020+\dfrac{1}{{{\left( x-6 \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( x-12 \right)}^{2}}}>0,\forall x\in \left( -\infty ;6 \right)$
$\Rightarrow f\left( x \right)$ đồng biến trên $\left( -\infty ;6 \right)$.
Do đó trên $\left( -\infty ;6 \right)$ phương trình $f\left( x \right)=0$ nếu có nghiệm thì sẽ có nghiệm duy nhất.
Xét bảng sau:
Đường thẳng $y=0$ cắt đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ tại đúng một điểm nên $f\left( x \right)=0$ có nghiệm duy nhất trên $\left( -\infty ;6 \right)$.
Do đó phương trình đã cho có nghiệm duy nhất trên $\left( -\infty ;6 \right)$.
Tương tự, trên $\left( 6;12 \right)$ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.
Trên $\left( 12;+\infty \right)$ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.
Vậy phương trình đã cho có đúng 3 nghiệm thực.
Xét hàm số $f\left( x \right)={{2020}^{x}}+\dfrac{1}{6-x}-\dfrac{1}{x-12}-2019$, với $x\in \left( -\infty ;1 \right)$ ta có:
${f}'\left( x \right)={{2020}^{x}}\ln 2020+\dfrac{1}{{{\left( x-6 \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( x-12 \right)}^{2}}}>0,\forall x\in \left( -\infty ;6 \right)$
$\Rightarrow f\left( x \right)$ đồng biến trên $\left( -\infty ;6 \right)$.
Do đó trên $\left( -\infty ;6 \right)$ phương trình $f\left( x \right)=0$ nếu có nghiệm thì sẽ có nghiệm duy nhất.
Xét bảng sau:
Đường thẳng $y=0$ cắt đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ tại đúng một điểm nên $f\left( x \right)=0$ có nghiệm duy nhất trên $\left( -\infty ;6 \right)$.
Do đó phương trình đã cho có nghiệm duy nhất trên $\left( -\infty ;6 \right)$.
Tương tự, trên $\left( 6;12 \right)$ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.
Trên $\left( 12;+\infty \right)$ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.
Vậy phương trình đã cho có đúng 3 nghiệm thực.
Đáp án A.