Phương trình ${{2}^{x-2+\sqrt[3]{m-3x}}}+\left(...

Ta có ${{2}^{x-2+\sqrt[3]{m-3x}}}+\left( {{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+9x+m \right){{2}^{x-2}}={{2}^{x+1}}+1$.
$\Leftrightarrow {{2}^{\sqrt[3]{m-3x}}}+{{\left( x-2 \right)}^{3}}+8+m-3x={{2}^{3}}+{{2}^{2-x}}$.
$\Leftrightarrow {{2}^{\sqrt[3]{m-3x}}}+m-3x={{2}^{2-x}}+{{\left( 2-x \right)}^{3}}$.
Xét hàm $f\left( t \right)={{2}^{t}}+{{t}^{3}}$ trên $\mathbb{R}$.
Ta có $f'\left( t \right)={{2}^{t}}.\ln 2+3{{t}^{2}}>0,\forall t\in \mathbb{R}$.
$\Rightarrow $ Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.
Mà $f\left( \sqrt[3]{m-3x} \right)=f\left( 2-x \right)\Leftrightarrow \sqrt[3]{m-3x}=2-x\Leftrightarrow m-3x={{\left( 2-x \right)}^{3}}$.
$\Leftrightarrow m=2-9x+6{{x}^{2}}-{{x}^{3}}$.
Số nghiệm phương trình là số giao điểm giữa đồ thị hàm số $y=-{{x}^{3}}+6{{x}^{2}}-9x+8$ và đường thẳng $y=m$.
Xét hàm số $f\left( x \right)=-{{x}^{3}}+6{{x}^{2}}-9x+8$ trên $\mathbb{R}$.
Ta có $f'\left( x \right)=-3{{x}^{2}}+12x-9;f'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=3 \\
& x=1 \\
\end{aligned} \right.$.
Bảng biến thiên:


Dựa vào bảng biến thiên để phương trình có 3 nghiệm phân biệt khi $4<m<8$.
Suy ra $a=4;b=8\Rightarrow T={{b}^{2}}-{{a}^{2}}=48$.