Google
Câu hỏi: Phương trình ${2{\log _3}\left( {\cot x} \right) = {\log _2}\left( {\cos x} \right)}$ có bao nhiêu nghiệm trong khoảng ${\left( {0;2018\pi } \right)?}$
A. ${1009}$.
B. ${1008}$.
C. ${2018}$.
D. ${2019}$.
A. ${1009}$.
B. ${1008}$.
C. ${2018}$.
D. ${2019}$.
Điều kiện $\sin x\ne 0,\cot x>0,\cos x>0$
Đặt $2lo{{g}_{3}}\left( \cot x \right)=lo{{g}_{2}}\left( \cos x \right)=t.$
Suy ra$\left\{ \begin{aligned}
& \cot x={{\left( \sqrt{3} \right)}^{t}} \\
& \cos x={{2}^{t}} \\
\end{aligned} \right.$
Mà $1+{{\cot }^{2}}x=\dfrac{1}{{{\sin }^{2}}x}\Rightarrow 1+{{3}^{t}}=\dfrac{1}{1-{{4}^{t}}}\Leftrightarrow {{4}^{t}}+{{12}^{t}}={{3}^{t}}\Leftrightarrow {{\left( \dfrac{4}{3} \right)}^{t}}+{{4}^{t}}=1$
Xét hàm số $f\left( t \right)={{\left( \dfrac{4}{3} \right)}^{t}}+{{4}^{t}}$ đồng biến và liên tục trên R
Mà $f\left( -1 \right)=\dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{4}=1$, suy ra phương trình có đúng một nghiệm $t=-1\Rightarrow \cos x=\dfrac{1}{2}$
Vì $x\in \left( 0;2018\pi \right)$ tức có $1009$ vòng tròn lượng giác, mà $x\ne 0,\cot x>0,\cos x>0$ nên mỗi vòng tròn chỉ lấy 1 nghiệm ( nằm ở góc phần tư thứ nhất ).
Vậy có 1009 nghiệm,
Đặt $2lo{{g}_{3}}\left( \cot x \right)=lo{{g}_{2}}\left( \cos x \right)=t.$
Suy ra$\left\{ \begin{aligned}
& \cot x={{\left( \sqrt{3} \right)}^{t}} \\
& \cos x={{2}^{t}} \\
\end{aligned} \right.$
Mà $1+{{\cot }^{2}}x=\dfrac{1}{{{\sin }^{2}}x}\Rightarrow 1+{{3}^{t}}=\dfrac{1}{1-{{4}^{t}}}\Leftrightarrow {{4}^{t}}+{{12}^{t}}={{3}^{t}}\Leftrightarrow {{\left( \dfrac{4}{3} \right)}^{t}}+{{4}^{t}}=1$
Xét hàm số $f\left( t \right)={{\left( \dfrac{4}{3} \right)}^{t}}+{{4}^{t}}$ đồng biến và liên tục trên R
Mà $f\left( -1 \right)=\dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{4}=1$, suy ra phương trình có đúng một nghiệm $t=-1\Rightarrow \cos x=\dfrac{1}{2}$
Vì $x\in \left( 0;2018\pi \right)$ tức có $1009$ vòng tròn lượng giác, mà $x\ne 0,\cot x>0,\cos x>0$ nên mỗi vòng tròn chỉ lấy 1 nghiệm ( nằm ở góc phần tư thứ nhất ).
Vậy có 1009 nghiệm,
Đáp án A.