Phương trình $2{{\log }_{3}}\left( \cot x \right)={{\log...

Điều kiện $\left\{ \begin{aligned}
& \cos x>0 \\
& \cot x>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \cos x>0 \\
& \sin x>0 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow x$ thuộc góc phần tư thứ nhất trên đường tròn lượng giác.
Đặt $2{{\log }_{3}}\left( \cot x \right)={{\log }_{2}}\left( \cos x \right)=t\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left( {{\cot }^{2}}x \right)={{\log }_{2}}\left( \cos x \right)=t$
$\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{\operatorname{co}}^{2}}tx={{3}^{t}}\Rightarrow \dfrac{1}{{{\tan }^{2}}x}={{3}^{t}} \\
& \cos x={{2}^{t}}\Rightarrow {{\cos }^{2}}x={{4}^{t}} \\
\end{aligned} \right.$
Mặt khác $\dfrac{1}{{{\cos }^{2}}x}=1+{{\tan }^{2}}x\Leftrightarrow {{\cos }^{2}}x=\dfrac{1}{1+{{\tan }^{2}}x}\Rightarrow {{4}^{t}}=\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{{{3}^{t}}}}\Leftrightarrow {{4}^{t}}=\dfrac{{{3}^{t}}}{1+{{3}^{t}}}$
$\Leftrightarrow {{4}^{t}}+{{12}^{t}}={{3}^{t}}\Leftrightarrow {{\left( \dfrac{4}{3} \right)}^{t}}+{{4}^{t}}=1\left( * \right)$
Xét hàm số $f\left( x \right)={{\left( \dfrac{4}{3} \right)}^{t}}+{{4}^{t}}\left( t\in \mathbb{R} \right)$ ta có: ${f}'\left( t \right)={{\left( \dfrac{4}{3} \right)}^{t}}\ln \dfrac{4}{3}+{{4}^{t}}\ln 4>0\left( \forall t\in \mathbb{R} \right)$ do đó hàm số $f\left( t \right)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$, mặt khác $f\left( -1 \right)=1$.
Phương trình $\left( * \right)\Leftrightarrow f\left( t \right)=f\left( -1 \right)\Leftrightarrow t=-1\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \cos x=\dfrac{1}{2} \\
& \cot x=\dfrac{1}{\sqrt{3}} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow x=\dfrac{\pi }{3}+k2\pi \left( k\in \mathbb{Z} \right)$
Kết hợp $x\in \left( 0;2018\pi \right)\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& k\in \left[ 1;1008 \right] \\
& k\in \mathbb{Z} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow $ có 1008 giá trị của $ k$.