Phương trình $2{{\log }_{3}}\left( \cot x \right)={{\log...

The Knowledge · 14/1/22

Câu hỏi: Phương trình

2 \log_{3} (\cot x) = \log_{2} (\cos x)

có bao nhiêu nghiệm trong

(0; 2018 π)

?
A. 2018 nghiệm
B. 1008 nghiệm
C. 2017 nghiệm
D. 1009 nghiệm

Điều kiện

{\begin{aligned} \cos x > 0 \\ \cot x > 0 \end{aligned} \Leftrightarrow {\begin{aligned} \cos x > 0 \\ \sin x > 0 \end{aligned} \Rightarrow x

thuộc góc phần tư thứ nhất trên đường tròn lượng giác.
Đặt

2 \log_{3} (\cot x) = \log_{2} (\cos x) = t \Leftrightarrow \log_{3} (\cot^{2} x) = \log_{2} (\cos x) = t

\Rightarrow {\begin{aligned} {co}^{2} t x = 3^{t} \Rightarrow \frac{1}{\tan^{2} x} = 3^{t} \\ \cos x = 2^{t} \Rightarrow \cos^{2} x = 4^{t} \end{aligned}

Mặt khác

\frac{1}{\cos^{2} x} = 1 + \tan^{2} x \Leftrightarrow \cos^{2} x = \frac{1}{1 + \tan^{2} x} \Rightarrow 4^{t} = \frac{1}{1 + \frac{1}{3^{t}}} \Leftrightarrow 4^{t} = \frac{3^{t}}{1 + 3^{t}}

\Leftrightarrow 4^{t} + 12^{t} = 3^{t} \Leftrightarrow {(\frac{4}{3})}^{t} + 4^{t} = 1 (*)

Xét hàm số

f (x) = {(\frac{4}{3})}^{t} + 4^{t} (t \in R)

ta có:

f^{'} (t) = {(\frac{4}{3})}^{t} \ln \frac{4}{3} + 4^{t} \ln 4 > 0 (\forall t \in R)

do đó hàm số

f (t)

đồng biến trên

R

, mặt khác

f (- 1) = 1

.
Phương trình

(*) \Leftrightarrow f (t) = f (- 1) \Leftrightarrow t = - 1 \Rightarrow {\begin{aligned} \cos x = \frac{1}{2} \\ \cot x = \frac{1}{\sqrt{3}} \end{aligned} \Rightarrow x = \frac{π}{3} + k 2 π (k \in Z)

Kết hợp

x \in (0; 2018 π) \Rightarrow {\begin{aligned} k \in [1; 1008] \\ k \in Z \end{aligned} \Rightarrow

có 1008 giá trị của

k

.

Đáp án B.