Google
Câu hỏi: Ông An có một khu vườn giới hạn bởi một đường parabol và một đường thẳng. Nếu đặt trong hệ tọa độ Oxy như hình vẽ bên thì parabol có phương trình $y={{x}^{2}}$ và đường thẳng $y=25$. Ông An dự định dùng một mảnh vườn nhỏ được chia từ khu vườn bởi một đường thẳng đi qua O và điểm M trên parabol để trồng một loại hoa. Tính độ dài OM để diện tích mảnh vườn bằng $\dfrac{9}{2}$.
A. $OM=2\sqrt{5}$.
B. $OM=15$.
C. $OM=10$.
D. $OM=3\sqrt{10}$.
A. $OM=2\sqrt{5}$.
B. $OM=15$.
C. $OM=10$.
D. $OM=3\sqrt{10}$.
Gọi điểm $H\left( a;0 \right),\left( a>0 \right)$ là hình chiếu vuông góc của điểm M trên trục Ox.
Khi đó ta có đường thẳng OM có dạng $y=\tan \alpha .x$, (với $\alpha =\widehat{MOH}$ )
$\Rightarrow \tan \alpha =\dfrac{MH}{OH}=\dfrac{{{a}^{2}}}{a}=a\Rightarrow y=ax$
Vậy diện tích mảnh vườn cần tính là: $S=\int\limits_{0}^{1}{\left( ax-{{x}^{2}} \right)dx}=\dfrac{{{a}^{3}}}{6}\Leftrightarrow \dfrac{{{a}^{3}}}{6}=\dfrac{9}{2}\Leftrightarrow a=3$.
Suy ra $OM=\sqrt{{{3}^{2}}+{{9}^{2}}}=3\sqrt{10}$.
Khi đó ta có đường thẳng OM có dạng $y=\tan \alpha .x$, (với $\alpha =\widehat{MOH}$ )
$\Rightarrow \tan \alpha =\dfrac{MH}{OH}=\dfrac{{{a}^{2}}}{a}=a\Rightarrow y=ax$
Vậy diện tích mảnh vườn cần tính là: $S=\int\limits_{0}^{1}{\left( ax-{{x}^{2}} \right)dx}=\dfrac{{{a}^{3}}}{6}\Leftrightarrow \dfrac{{{a}^{3}}}{6}=\dfrac{9}{2}\Leftrightarrow a=3$.
Suy ra $OM=\sqrt{{{3}^{2}}+{{9}^{2}}}=3\sqrt{10}$.
Đáp án D.