Câu hỏi: Nhà Long muốn xây một hồ chứa nước có dạng một khối hộp chữ nhật có nắp đậy có thể tích bằng $576{{m}^{3}}$. Đáy hồ là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng. Giá tiền thuê nhân công để xây hồ tính theo ${{m}^{2}}$ là 500.000 đồng/ ${{m}^{2}}$. Chi phí ít nhất để xây hồ nước là bao nhiêu triệu?
A. 216.
B. 200.
C. 175.
D. 225.
A. 216.
B. 200.
C. 175.
D. 225.
Gọi x, y, h lần lượt là chiều rộng, chiều dài, chiều cao của hồ chứa nước, $\left( x>0,y>0,h>0,m \right)$. Ta có $y=2x$.
Thể tích chứa nước: $V=xyh\Leftrightarrow h=\dfrac{V}{xy}=\dfrac{576}{x\left( 2x \right)}=\dfrac{288}{{{x}^{2}}}.$
Diện tích cần xây dựng hồ chứa nước: $S\left( x \right)=2xy+2xh+2yh=2x\left( 2x \right)+2x.\dfrac{288}{{{x}^{2}}}+2\left( 2x \right)\dfrac{288}{{{x}^{2}}}=4{{x}^{2}}+\dfrac{1728}{x}.$
Để chi phí nhân công là ít nhất thì diện tích cần xây dựng là nhỏ nhất mà vẫn đạt được thể tích như mong muốn. Bài toán trở thành tìm x để $S\left( x \right)$ nhỏ nhất.
$S\left( x \right)=4{{x}^{2}}+\dfrac{1728}{x},\ S'\left( x \right)=0\Leftrightarrow 8x-\dfrac{1728}{{{x}^{2}}}=0\Leftrightarrow x=6.$
Vẽ bảng biến thiên thấy kích thước của hồ nhỏ nhất khi: rộng 6m, dài 12m, cao 8m, diện tích cần xây: $432{{m}^{2}}$. Chi phí ít nhất là: $432\times 500.000=216.000.000$ (đồng).
Thể tích chứa nước: $V=xyh\Leftrightarrow h=\dfrac{V}{xy}=\dfrac{576}{x\left( 2x \right)}=\dfrac{288}{{{x}^{2}}}.$
Diện tích cần xây dựng hồ chứa nước: $S\left( x \right)=2xy+2xh+2yh=2x\left( 2x \right)+2x.\dfrac{288}{{{x}^{2}}}+2\left( 2x \right)\dfrac{288}{{{x}^{2}}}=4{{x}^{2}}+\dfrac{1728}{x}.$
Để chi phí nhân công là ít nhất thì diện tích cần xây dựng là nhỏ nhất mà vẫn đạt được thể tích như mong muốn. Bài toán trở thành tìm x để $S\left( x \right)$ nhỏ nhất.
$S\left( x \right)=4{{x}^{2}}+\dfrac{1728}{x},\ S'\left( x \right)=0\Leftrightarrow 8x-\dfrac{1728}{{{x}^{2}}}=0\Leftrightarrow x=6.$
Vẽ bảng biến thiên thấy kích thước của hồ nhỏ nhất khi: rộng 6m, dài 12m, cao 8m, diện tích cần xây: $432{{m}^{2}}$. Chi phí ít nhất là: $432\times 500.000=216.000.000$ (đồng).
Đáp án A.