Google
Câu hỏi: Nguyên hàm của hàm số $y=\dfrac{\sin 2x}{3+2\cos x}$ bằng
A. $3\ln \left| 3+2\cos x \right|-\cos x+C$.
B. $\dfrac{3}{2}\ln \left| 3+2\cos x \right|-\cos x+C$.
C. $-\dfrac{3}{2}\ln \left| 3+2\cos x \right|+\cos x+C$.
D. $3\ln \left| 3+2\cos x \right|+\cos x+C$.
A. $3\ln \left| 3+2\cos x \right|-\cos x+C$.
B. $\dfrac{3}{2}\ln \left| 3+2\cos x \right|-\cos x+C$.
C. $-\dfrac{3}{2}\ln \left| 3+2\cos x \right|+\cos x+C$.
D. $3\ln \left| 3+2\cos x \right|+\cos x+C$.
$H=\int\limits_{{}}^{{}}{\dfrac{\sin 2x}{3+2xosx}dx}=\int\limits_{{}}^{{}}{\dfrac{2\sin x\cos x}{2\cos x+3}dx}=-2\int\limits_{{}}^{{}}{\dfrac{\cos x}{2\cos x+3}d\left( \cos x \right)}$
$\xrightarrow[{}]{2\cos x+3=t}H=-2\int\limits_{{}}^{{}}{\dfrac{\dfrac{t-3}{2}}{t}d\left( \dfrac{t-3}{2} \right)}=-\dfrac{1}{2}\int\limits_{{}}^{{}}{\dfrac{t-3}{t}dt}=-\dfrac{1}{2}\int\limits_{{}}^{{}}{\left( 1-\dfrac{3}{t} \right)dt}=-\dfrac{1}{2}\left( t-3\ln \left| t \right| \right)+C$
$=-\dfrac{1}{2}\left( 2\cos x+3-3\ln \left| 2\cos x+3 \right| \right)+C=-\cos x-\dfrac{3}{2}+\dfrac{3}{2}\ln \left( 2\cos x+3 \right)+C$
$\xrightarrow[{}]{2\cos x+3=t}H=-2\int\limits_{{}}^{{}}{\dfrac{\dfrac{t-3}{2}}{t}d\left( \dfrac{t-3}{2} \right)}=-\dfrac{1}{2}\int\limits_{{}}^{{}}{\dfrac{t-3}{t}dt}=-\dfrac{1}{2}\int\limits_{{}}^{{}}{\left( 1-\dfrac{3}{t} \right)dt}=-\dfrac{1}{2}\left( t-3\ln \left| t \right| \right)+C$
$=-\dfrac{1}{2}\left( 2\cos x+3-3\ln \left| 2\cos x+3 \right| \right)+C=-\cos x-\dfrac{3}{2}+\dfrac{3}{2}\ln \left( 2\cos x+3 \right)+C$
Đáp án B.