Google
Câu hỏi: Người ta tạo một "quả cầu gai"" bằng cách dựng ra phía ngoài mỗi mặt của hình lập phương cạnh 1 một hình chóp tứ giác đều có đáy là mặt của hình lập phương (các hình chóp tứ giác đều có chiều cao bằng nhau).
Gọi $A, B, C, D, E, F$ là đỉnh của các hình chóp đều mới dựng. Biết rằng thể tích của khối bát diện có các đỉnh là $A, B, C, D, E, F$ bằng $\dfrac{32}{3}$. Thể tích của khối cầu gai bằng
A. $\dfrac{16}{3}$.
B. 4 .
C. 3 .
D. 2 .
A. $\dfrac{16}{3}$.
B. 4 .
C. 3 .
D. 2 .
Gọi $O$ là tâm của hình lập phương thì $O$ là tâm của bát diện đều với các đỉnh đã cho Gọi khoảng cách từ $A$ đến mặt gần nhất của hình lập phương là $h$
$
\begin{aligned}
& \Rightarrow C D=C O \cdot \sqrt{2}=A O \cdot \sqrt{2}=\left(h+\dfrac{1}{2}\right) \cdot \sqrt{2} \\
& \Rightarrow V_{A B C D E F}=\dfrac{32}{3} \Leftrightarrow 2 \cdot \dfrac{1}{3} A O \cdot C D^2=\dfrac{32}{3} \\
& \Leftrightarrow 2 \cdot \dfrac{1}{3}\left(h+\dfrac{1}{2}\right) \cdot\left(h+\dfrac{1}{2}\right)^2 \cdot 2=\dfrac{32}{3} \\
& \Leftrightarrow\left(h+\dfrac{1}{2}\right)^3=8 \Rightarrow h+\dfrac{1}{2}=2 \Rightarrow h=\dfrac{3}{2}
\end{aligned}
$
Vậy thể tích khối cầu gai cần tìm là: $6 \cdot \dfrac{1}{3} \cdot h \cdot 1^2+1^3=2 \cdot \dfrac{3}{2} \cdot 1^2+1^3=4$.
$
\begin{aligned}
& \Rightarrow C D=C O \cdot \sqrt{2}=A O \cdot \sqrt{2}=\left(h+\dfrac{1}{2}\right) \cdot \sqrt{2} \\
& \Rightarrow V_{A B C D E F}=\dfrac{32}{3} \Leftrightarrow 2 \cdot \dfrac{1}{3} A O \cdot C D^2=\dfrac{32}{3} \\
& \Leftrightarrow 2 \cdot \dfrac{1}{3}\left(h+\dfrac{1}{2}\right) \cdot\left(h+\dfrac{1}{2}\right)^2 \cdot 2=\dfrac{32}{3} \\
& \Leftrightarrow\left(h+\dfrac{1}{2}\right)^3=8 \Rightarrow h+\dfrac{1}{2}=2 \Rightarrow h=\dfrac{3}{2}
\end{aligned}
$
Vậy thể tích khối cầu gai cần tìm là: $6 \cdot \dfrac{1}{3} \cdot h \cdot 1^2+1^3=2 \cdot \dfrac{3}{2} \cdot 1^2+1^3=4$.
Đáp án B.