Google
Câu hỏi: Người ta sản xuất một vật lưu niệm (N) bằng thủy
tinh trong suốt có dạng khối tròn xoay mà thiết kế qua trục
của nó là một hình thang cân (xem hình vẽ).
Bên trong (N) có
hai khối cầu ngũ sắc với bán kính lần lượt là $R=3cm,r=1cm$
tiếp xúc với nhau và cùng tiếp xúc với mặt xung quanh của
(N), đồng thời hai khối cầu lần lượt tiếp xúc với hai mặt đáy
của (N). Tính thể tích của vật lưu niệm đó
A. $\dfrac{485\pi }{6}\left( c{{m}^{3}} \right)$
B. $81\pi \left( c{{m}^{3}} \right)$
C. $72\pi \left( c{{m}^{3}} \right)$
D. $\dfrac{728\pi }{9}\left( c{{m}^{3}} \right)$
Giả sử thiết diện là hình thang ABPQ
Gọi I, K lần lượt là tâm của đường tròn nhỏ và to
Gọi M, N là hình chiếu của I, K lên một cạnh bên, điểm
$E=IK\cap MN$ (hình vẽ) trong đó $IK=r+R=4cm$
Ta có: $\dfrac{EI}{EK}=\dfrac{IM}{KN}=\dfrac{r}{R}=\dfrac{1}{3}\Leftrightarrow \dfrac{EI}{EI+IK}=\dfrac{1}{3}\Leftrightarrow \dfrac{EI}{EI+4}=\dfrac{1}{3}$
$\Leftrightarrow EI=2\Rightarrow \sin \widehat{IEM}=\dfrac{IM}{EI}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow \widehat{IEM}=30{}^\circ $
Suy ra $\widehat{EBO}=60{}^\circ \Rightarrow \widehat{KBO}=30{}^\circ \Rightarrow OB=KO\cot 30{}^\circ =3\sqrt{3}$
Mặt khác $EH=IE-IH=2-1=1cm,PH=HE\tan 30{}^\circ =\dfrac{1}{\sqrt{3}}$
Thể tích của vật thể cần tìm là: $V=\dfrac{1}{3}\pi O{{B}^{2}}.EO-\dfrac{1}{3}\pi H{{P}^{2}}.EH=\dfrac{728\pi }{9}$.
tinh trong suốt có dạng khối tròn xoay mà thiết kế qua trục
của nó là một hình thang cân (xem hình vẽ).
Bên trong (N) có
hai khối cầu ngũ sắc với bán kính lần lượt là $R=3cm,r=1cm$
tiếp xúc với nhau và cùng tiếp xúc với mặt xung quanh của
(N), đồng thời hai khối cầu lần lượt tiếp xúc với hai mặt đáy
của (N). Tính thể tích của vật lưu niệm đó
A. $\dfrac{485\pi }{6}\left( c{{m}^{3}} \right)$
B. $81\pi \left( c{{m}^{3}} \right)$
C. $72\pi \left( c{{m}^{3}} \right)$
D. $\dfrac{728\pi }{9}\left( c{{m}^{3}} \right)$
Giả sử thiết diện là hình thang ABPQ
Gọi I, K lần lượt là tâm của đường tròn nhỏ và to
Gọi M, N là hình chiếu của I, K lên một cạnh bên, điểm
$E=IK\cap MN$ (hình vẽ) trong đó $IK=r+R=4cm$
Ta có: $\dfrac{EI}{EK}=\dfrac{IM}{KN}=\dfrac{r}{R}=\dfrac{1}{3}\Leftrightarrow \dfrac{EI}{EI+IK}=\dfrac{1}{3}\Leftrightarrow \dfrac{EI}{EI+4}=\dfrac{1}{3}$
$\Leftrightarrow EI=2\Rightarrow \sin \widehat{IEM}=\dfrac{IM}{EI}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow \widehat{IEM}=30{}^\circ $
Suy ra $\widehat{EBO}=60{}^\circ \Rightarrow \widehat{KBO}=30{}^\circ \Rightarrow OB=KO\cot 30{}^\circ =3\sqrt{3}$
Mặt khác $EH=IE-IH=2-1=1cm,PH=HE\tan 30{}^\circ =\dfrac{1}{\sqrt{3}}$
Thể tích của vật thể cần tìm là: $V=\dfrac{1}{3}\pi O{{B}^{2}}.EO-\dfrac{1}{3}\pi H{{P}^{2}}.EH=\dfrac{728\pi }{9}$.
Đáp án D.