Người ta muốn xây một đoạn đường $AB$ (như hình vẽ) và đoạn đường...

Đề hoàn thành con đường với chi phí thấp nhất thì phải chọn $A,B$ sao cho đoạn thẳng $AB$ là bé nhất. Thiết lập khoảng cách giữa hai điểm $A,B$ và tìm giá trị nhỏ nhất.
Chọn hệ toạ độ $xOy$ như hình dưới đây với $OD$ nằm trên tia $Oy$. Khi đó điểm $M({\displaystyle \frac{1}{8}};1)$.

Gọi $B(m;0),A(0;n)(m,n>0)$. Khi đó ta có phương trình theo đoạn chắn là ${\displaystyle \frac{x}{m}}+{\displaystyle \frac{y}{n}}=1$.
Do đường thẳng đi qua $M({\displaystyle \frac{1}{8}};1)$ nên ${\displaystyle \frac{1}{8m}}+{\displaystyle \frac{1}{n}}=1\Rightarrow {\displaystyle \frac{1}{n}}=1-{\displaystyle \frac{1}{8m}}={\displaystyle \frac{8m-1}{8m}}\Rightarrow n={\displaystyle \frac{8m}{8m-1}}$.
Có $A{B}^2=m^2+n^2=m^2+\left({\displaystyle \frac{8m}{8m-1}}\right)=f\left(m\right)$. Xét hàm số $f\left(m\right)$, ta có :
$f^{\prime }\left(m\right)=2m+2.{\displaystyle \frac{8m}{8m-1}}.{\displaystyle \frac{-8}{{(8m-1)}^2}}=2m.(1-{\displaystyle \frac{64}{{(8m-1)}^3}});f^{\prime }\left(m\right)=0\iff [\begin{array}{rl}& m=0\left(loai\right)\\ & 1-{\displaystyle \frac{64}{{(8m-1)}^2}}=0\end{array}$
$\iff {(8m-1)}^3=64\iff m={\displaystyle \frac{5}{8}}$
$f\left(m\right)\ge f\left({\displaystyle \frac{5}{8}}\right)={\left({\displaystyle \frac{5}{8}}\right)}^2+{\left({\displaystyle \frac{8.{\displaystyle \frac{5}{8}}}{8.{\displaystyle \frac{5}{8}}-1}}\right)}^2={\displaystyle \frac{25}{64}}+{\displaystyle \frac{25}{16}}={\displaystyle \frac{125}{64}}\Rightarrow AB\ge \sqrt{{\displaystyle \frac{125}{64}}}={\displaystyle \frac{5\sqrt{5}}{8}}$.
Vậy quãng đường ngắn nhất là ${\displaystyle \frac{5\sqrt{5}}{8}}\left(km\right)$
Giá để làm $1km$ đường là $1500$ triệu đồng $=1,5$ tỷ đồng nên khi đó chi phí thấp nhất để hoàn thành con đường là ${\displaystyle \frac{5\sqrt{5}}{8}}.1,5\approx 2,0963$ (tỷ đồng).