Google
Câu hỏi: Người ta muốn xây một đoạn đường $AB$ (như hình vẽ) và đoạn đường này phải đi qua điểm $M$ Biết rằng vị trí điểm $M$ cách $OD$ $125m$ và cách $OE$ $1km$. Giả sử chi phí để làm $100m$ đường là $150$ triệu đồng. Chọn vị trí của $A$ và $B$ để hoàn thành con đường với chi phí thấp nhất. Hỏi chi phí thấp nhất để hoàn thành được con đường là bao nhiêu?
A. $2,0963$ tỷ đồng.
B. $1,9063$ tỷ đồng.
C. $2,3965$ tỷ đồng.
D. $3,0021$ tỷ đồng.
A. $2,0963$ tỷ đồng.
B. $1,9063$ tỷ đồng.
C. $2,3965$ tỷ đồng.
D. $3,0021$ tỷ đồng.
Đề hoàn thành con đường với chi phí thấp nhất thì phải chọn $A,B$ sao cho đoạn thẳng $AB$ là bé nhất. Thiết lập khoảng cách giữa hai điểm $A,B$ và tìm giá trị nhỏ nhất.
Chọn hệ toạ độ $xOy$ như hình dưới đây với $OD$ nằm trên tia $Oy$. Khi đó điểm $M\left( \dfrac{1}{8};1 \right)$.
Gọi $B\left( m;0 \right), A\left( 0;n \right) \left( m,n>0 \right)$. Khi đó ta có phương trình theo đoạn chắn là $\dfrac{x}{m}+\dfrac{y}{n}=1$.
Do đường thẳng đi qua $M\left( \dfrac{1}{8};1 \right)$ nên $\dfrac{1}{8m}+\dfrac{1}{n}=1\Rightarrow \dfrac{1}{n}=1-\dfrac{1}{8m}=\dfrac{8m-1}{8m}\Rightarrow n=\dfrac{8m}{8m-1}$.
Có $A{{B}^{2}}={{m}^{2}}+{{n}^{2}}={{m}^{2}}+\left( \dfrac{8m}{8m-1} \right)=f\left( m \right)$. Xét hàm số $f\left( m \right)$, ta có :
${f}'\left( m \right)=2m+2.\dfrac{8m}{8m-1}.\dfrac{-8}{{{\left( 8m-1 \right)}^{2}}}=2m.\left( 1-\dfrac{64}{{{\left( 8m-1 \right)}^{3}}} \right); {f}'\left( m \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=0 \left( loai \right) \\
& 1-\dfrac{64}{{{\left( 8m-1 \right)}^{2}}}=0 \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow {{\left( 8m-1 \right)}^{3}}=64\Leftrightarrow m=\dfrac{5}{8}$
$f\left( m \right)\ge f\left( \dfrac{5}{8} \right)={{\left( \dfrac{5}{8} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{8.\dfrac{5}{8}}{8.\dfrac{5}{8}-1} \right)}^{2}}=\dfrac{25}{64}+\dfrac{25}{16}=\dfrac{125}{64}\Rightarrow AB\ge \sqrt{\dfrac{125}{64}}=\dfrac{5\sqrt{5}}{8}$.
Vậy quãng đường ngắn nhất là $\dfrac{5\sqrt{5}}{8} \left( km \right)$
Giá để làm $1 km$ đường là $1500$ triệu đồng $=1,5$ tỷ đồng nên khi đó chi phí thấp nhất để hoàn thành con đường là $\dfrac{5\sqrt{5}}{8}.1,5\approx 2,0963$ (tỷ đồng).
Chọn hệ toạ độ $xOy$ như hình dưới đây với $OD$ nằm trên tia $Oy$. Khi đó điểm $M\left( \dfrac{1}{8};1 \right)$.
Gọi $B\left( m;0 \right), A\left( 0;n \right) \left( m,n>0 \right)$. Khi đó ta có phương trình theo đoạn chắn là $\dfrac{x}{m}+\dfrac{y}{n}=1$.
Do đường thẳng đi qua $M\left( \dfrac{1}{8};1 \right)$ nên $\dfrac{1}{8m}+\dfrac{1}{n}=1\Rightarrow \dfrac{1}{n}=1-\dfrac{1}{8m}=\dfrac{8m-1}{8m}\Rightarrow n=\dfrac{8m}{8m-1}$.
Có $A{{B}^{2}}={{m}^{2}}+{{n}^{2}}={{m}^{2}}+\left( \dfrac{8m}{8m-1} \right)=f\left( m \right)$. Xét hàm số $f\left( m \right)$, ta có :
${f}'\left( m \right)=2m+2.\dfrac{8m}{8m-1}.\dfrac{-8}{{{\left( 8m-1 \right)}^{2}}}=2m.\left( 1-\dfrac{64}{{{\left( 8m-1 \right)}^{3}}} \right); {f}'\left( m \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=0 \left( loai \right) \\
& 1-\dfrac{64}{{{\left( 8m-1 \right)}^{2}}}=0 \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow {{\left( 8m-1 \right)}^{3}}=64\Leftrightarrow m=\dfrac{5}{8}$
$f\left( m \right)\ge f\left( \dfrac{5}{8} \right)={{\left( \dfrac{5}{8} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{8.\dfrac{5}{8}}{8.\dfrac{5}{8}-1} \right)}^{2}}=\dfrac{25}{64}+\dfrac{25}{16}=\dfrac{125}{64}\Rightarrow AB\ge \sqrt{\dfrac{125}{64}}=\dfrac{5\sqrt{5}}{8}$.
Vậy quãng đường ngắn nhất là $\dfrac{5\sqrt{5}}{8} \left( km \right)$
Giá để làm $1 km$ đường là $1500$ triệu đồng $=1,5$ tỷ đồng nên khi đó chi phí thấp nhất để hoàn thành con đường là $\dfrac{5\sqrt{5}}{8}.1,5\approx 2,0963$ (tỷ đồng).
Đáp án A.