Google
Câu hỏi: Người ta làm một chiếc thùng hình trụ có thể tích $V$ nhất định. Biết rằng giá vật liệu để làm mặt đáy và nắp là như nhau và đắt gấp hai lần giá vật liệu để làm mặt xung quanh của thùng (chi phí cho mỗi đơn vị diện tích). Gọi $h,r$ lần lượt là chiều cao và bán kính đáy của thùng. Tính tỷ số $\dfrac{h}{r}$ sao cho chi phí sản xuất vật liệu là nhỏ nhất?
A. $\dfrac{h}{r}=4$.
B. $\dfrac{h}{r}=3\sqrt{2}$.
C. $\dfrac{h}{r}=4\sqrt{2}$.
D. $\dfrac{h}{r}=2$.
Có ${{S}_{xq}}=2\pi rh=2\pi r.\dfrac{V}{\pi {{r}^{2}}}=\dfrac{2V}{r}$ và ${{S}_{d}}=2\pi {{r}^{2}}$.
Giả sử chi phí giá vật liệu để làm mặt xung quanh của thùng $A$ thì chi phí làm mặt đáy và nắp là $2A$.
Tổng chi phí là
$T=2A.{{S}_{d}}+A.{{S}_{xq}}=2A.2\pi {{r}^{2}}+A.\dfrac{2V}{r}=A\left( 4\pi {{r}^{2}}+\dfrac{2V}{r} \right)$ $=A\left( 4\pi {{r}^{2}}+\dfrac{V}{r}+\dfrac{V}{r} \right)\ge A.3.\sqrt[3]{4\pi {{r}^{2}}.\dfrac{V}{r}.\dfrac{V}{r}}=3A\sqrt[3]{4\pi {{V}^{2}}}$.
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $4\pi {{r}^{2}}=\dfrac{V}{r}\Leftrightarrow {{r}^{3}}=\dfrac{V}{4\pi }$.
Khi đó $\dfrac{h}{r}=\dfrac{\dfrac{V}{\pi {{r}^{2}}}}{r}=\dfrac{V}{\pi {{r}^{3}}}=\dfrac{V}{\pi .\dfrac{V}{4\pi }}=4$.
B. $\dfrac{h}{r}=3\sqrt{2}$.
C. $\dfrac{h}{r}=4\sqrt{2}$.
D. $\dfrac{h}{r}=2$.
Ta có $V=\pi {{r}^{2}}h\Rightarrow h=\dfrac{V}{\pi {{r}^{2}}}$.Có ${{S}_{xq}}=2\pi rh=2\pi r.\dfrac{V}{\pi {{r}^{2}}}=\dfrac{2V}{r}$ và ${{S}_{d}}=2\pi {{r}^{2}}$.
Giả sử chi phí giá vật liệu để làm mặt xung quanh của thùng $A$ thì chi phí làm mặt đáy và nắp là $2A$.
Tổng chi phí là
$T=2A.{{S}_{d}}+A.{{S}_{xq}}=2A.2\pi {{r}^{2}}+A.\dfrac{2V}{r}=A\left( 4\pi {{r}^{2}}+\dfrac{2V}{r} \right)$ $=A\left( 4\pi {{r}^{2}}+\dfrac{V}{r}+\dfrac{V}{r} \right)\ge A.3.\sqrt[3]{4\pi {{r}^{2}}.\dfrac{V}{r}.\dfrac{V}{r}}=3A\sqrt[3]{4\pi {{V}^{2}}}$.
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $4\pi {{r}^{2}}=\dfrac{V}{r}\Leftrightarrow {{r}^{3}}=\dfrac{V}{4\pi }$.
Khi đó $\dfrac{h}{r}=\dfrac{\dfrac{V}{\pi {{r}^{2}}}}{r}=\dfrac{V}{\pi {{r}^{3}}}=\dfrac{V}{\pi .\dfrac{V}{4\pi }}=4$.
Đáp án A.