Google
Câu hỏi: Nghiệm của phương trình $\cos x+\sin x+\cos x.\sin x=1$ là
A. $x=\dfrac{\pi }{4}+k2\pi \left( k\in \mathbb{Z} \right)$.
B. $\left[ \begin{aligned}
& x=\dfrac{\pi }{4}+k2\pi \\
& x=\dfrac{3\pi }{4}+k2\pi \\
\end{aligned} \right.\left( k\in \mathbb{Z} \right)$.
C. $\left[ \begin{aligned}
& x=k2\pi \\
& x=-\dfrac{\pi }{2}+k2\pi \\
\end{aligned} \right.\left( k\in \mathbb{Z} \right) $.
D. $\left[ \begin{aligned}
& x=k2\pi \\
& x=\dfrac{\pi }{2}+k2\pi \\
\end{aligned} \right.\left( k\in \mathbb{Z} \right)$
A. $x=\dfrac{\pi }{4}+k2\pi \left( k\in \mathbb{Z} \right)$.
B. $\left[ \begin{aligned}
& x=\dfrac{\pi }{4}+k2\pi \\
& x=\dfrac{3\pi }{4}+k2\pi \\
\end{aligned} \right.\left( k\in \mathbb{Z} \right)$.
C. $\left[ \begin{aligned}
& x=k2\pi \\
& x=-\dfrac{\pi }{2}+k2\pi \\
\end{aligned} \right.\left( k\in \mathbb{Z} \right) $.
D. $\left[ \begin{aligned}
& x=k2\pi \\
& x=\dfrac{\pi }{2}+k2\pi \\
\end{aligned} \right.\left( k\in \mathbb{Z} \right)$
Đặt $t=\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin \left( x+\dfrac{\pi }{4} \right),-\sqrt{2}\le t\le \sqrt{2}$. Khi đó $\sin x.\cos x=\dfrac{{{t}^{2}}-1}{2}$.
Ta được $t+\dfrac{{{t}^{2}}-1}{2}=1\Leftrightarrow {{t}^{2}}+2t-3=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t=1 \\
& t=-3 \\
\end{aligned} \right. $ ($ t=-3$ loại).
Với $t=1\Rightarrow \sqrt{2}\sin \left( x+\dfrac{\pi }{4} \right)=1\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=k2\pi \\
& x=\dfrac{\pi }{2}+k2\pi \\
\end{aligned} \right.\left( k\in \mathbb{Z} \right)$.
Ta được $t+\dfrac{{{t}^{2}}-1}{2}=1\Leftrightarrow {{t}^{2}}+2t-3=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t=1 \\
& t=-3 \\
\end{aligned} \right. $ ($ t=-3$ loại).
Với $t=1\Rightarrow \sqrt{2}\sin \left( x+\dfrac{\pi }{4} \right)=1\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=k2\pi \\
& x=\dfrac{\pi }{2}+k2\pi \\
\end{aligned} \right.\left( k\in \mathbb{Z} \right)$.
Đáp án D.