Google
Câu hỏi: Nếu $f\left( x \right)={{\cos }^{2}}x-{{\sin }^{2}}x$ có nguyên hàm $F\left( x \right)$ thỏa mãn $F\left( \dfrac{\pi }{4} \right)=-1$ thì giá trị của $F\left( \dfrac{\pi }{2} \right)$ bằng
A. $-2$
B. $\dfrac{1}{2}$
C. $\dfrac{5}{2}$
D. $-\dfrac{3}{2}$
A. $-2$
B. $\dfrac{1}{2}$
C. $\dfrac{5}{2}$
D. $-\dfrac{3}{2}$
Phương pháp:
Tính nguyên hàm $F\left( x \right)+C=\int\limits_{{}}^{{}}{f\left( x \right)dx}$
Từ điều kiện $F\left( \dfrac{\pi }{4} \right)=-1$ ta tìm được hẳng số $C.$ Từ đó tính giá trị $F\left( \dfrac{\pi }{2} \right).$
Cách giải:
Ta có: $\int\limits_{{}}^{{}}{\left( {{\cos }^{2}}x-{{\sin }^{2}}x \right)dx}=\int\limits_{{}}^{{}}{\cos 2xdx}=\dfrac{1}{2}\sin 2x+C$
Ta có $F\left( \dfrac{\pi }{4} \right)=-1$
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\sin \left( 2.\dfrac{\pi }{4} \right)+C=-1\Leftrightarrow C=\dfrac{-3}{2}$
$\Rightarrow F\left( x \right)=\dfrac{1}{2}\sin 2x-\dfrac{3}{2}$
$F\left( \dfrac{\pi }{2} \right)=\dfrac{1}{2}\sin \left( \pi \right)-\dfrac{3}{2}=\dfrac{-3}{2}$
Tính nguyên hàm $F\left( x \right)+C=\int\limits_{{}}^{{}}{f\left( x \right)dx}$
Từ điều kiện $F\left( \dfrac{\pi }{4} \right)=-1$ ta tìm được hẳng số $C.$ Từ đó tính giá trị $F\left( \dfrac{\pi }{2} \right).$
Cách giải:
Ta có: $\int\limits_{{}}^{{}}{\left( {{\cos }^{2}}x-{{\sin }^{2}}x \right)dx}=\int\limits_{{}}^{{}}{\cos 2xdx}=\dfrac{1}{2}\sin 2x+C$
Ta có $F\left( \dfrac{\pi }{4} \right)=-1$
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\sin \left( 2.\dfrac{\pi }{4} \right)+C=-1\Leftrightarrow C=\dfrac{-3}{2}$
$\Rightarrow F\left( x \right)=\dfrac{1}{2}\sin 2x-\dfrac{3}{2}$
$F\left( \dfrac{\pi }{2} \right)=\dfrac{1}{2}\sin \left( \pi \right)-\dfrac{3}{2}=\dfrac{-3}{2}$
Đáp án D.