Nếu ba cạnh của một tam giác bất kì mà lập thành một cấp số nhân...

Gọi ba cạnh của tam giác lần lượt là: m, n, p $\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& n=mq \\
& p=m{{q}^{2}} \\
\end{aligned} \right.$ (với q là công bội của cấp số nhân m, n, p).
Khi đó điều kiện tồn tại tam giác: $\left\{ \begin{aligned}
& m+n>p \\
& n+p>m \\
\end{aligned} \right. & \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m+mq>m{{q}^{2}} \\
& mq+m{{q}^{2}}>m \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{q}^{2}}-q-1<0 \\
& {{q}^{2}}+q-1>0 \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \dfrac{1-\sqrt{5}}{2}<q<\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \\
& \left[ \begin{aligned}
& q<\dfrac{-1-\sqrt{5}}{2} \\
& q>\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2} \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}<q<\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\Rightarrow q\in \left( \dfrac{-1+\sqrt{5}}{2};\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \right)=(a;b)$.
Suy ra: $T=a+b=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}+\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}=\sqrt{5}$.