Google
Câu hỏi: [ Mức độ 4] Trong hệ tọa độ $Oxy$, cho điểm $M(x;y)$ với $x;y\in \mathbb{Z};-6<x<6; y\ne 0$ và thỏa mãn phương trình ${{3}^{9{{y}^{2}}}}-\dfrac{{{3}^{36}}}{{{3}^{{{x}^{2}}}}}+2={{\log }_{3}}\left( \dfrac{36-{{x}^{2}}}{{{y}^{2}}} \right)$. Hỏi có bao nhiêu điểm $M$ thỏa yêu cầu nêu trên?
A. Bốn điểm.
B. Một điểm.
C. Ba điểm.
D. Hai điểm.
A. Bốn điểm.
B. Một điểm.
C. Ba điểm.
D. Hai điểm.
Ta có: ${{3}^{9{{y}^{2}}}}-\dfrac{{{3}^{36}}}{{{3}^{{{x}^{2}}}}}+2={{\log }_{3}}\left( \dfrac{36-{{x}^{2}}}{{{y}^{2}}} \right)$ $\Leftrightarrow {{3}^{9{{y}^{2}}}}-{{3}^{36-{{x}^{2}}}}={{\log }_{3}}\left( \dfrac{36-{{x}^{2}}}{{{y}^{2}}} \right)-2$ $\Leftrightarrow {{3}^{9{{y}^{2}}}}-{{3}^{36-{{x}^{2}}}}={{\log }_{3}}\left( \dfrac{36-{{x}^{2}}}{9{{y}^{2}}} \right)$ $\Leftrightarrow {{3}^{9{{y}^{2}}}}-{{3}^{36-{{x}^{2}}}}={{\log }_{3}}\left( 36-{{x}^{2}} \right)-{{\log }_{3}}9{{y}^{2}}$ $\Leftrightarrow {{3}^{9{{y}^{2}}}}+{{\log }_{3}}9{{y}^{2}}={{\log }_{3}}\left( 36-{{x}^{2}} \right)+{{3}^{36-{{x}^{2}}}}$ $(1)$.
Xét hàm số $f(x)={{3}^{x}}+{{\log }_{3}}x$ với $x>0$.
Có ${f}'(x)={{3}^{x}}.\ln 3+\dfrac{1}{x.\ln 3}>0,\forall x>0$ $\Rightarrow $ Hàm số $y=f(x)$ đồng biến trên khoảng $(0;+\infty )$
Khi đó $(1)$ $\Leftrightarrow f(9{{y}^{2}})=f(36-{{x}^{2}})$ $\Leftrightarrow 9{{y}^{2}}=36-{{x}^{2}}$ $\Leftrightarrow {{x}^{2}}+9{{y}^{2}}=36$
Vì $x;y\in \mathbb{Z};-6<x<6;y\ne 0$ nên nhận được $\left\{ \begin{aligned}
& x=0 \\
& y=\pm 2 \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow {{M}_{1}}(0 ;2);{{M}_{2}}(0 ;-2)$.
Xét hàm số $f(x)={{3}^{x}}+{{\log }_{3}}x$ với $x>0$.
Có ${f}'(x)={{3}^{x}}.\ln 3+\dfrac{1}{x.\ln 3}>0,\forall x>0$ $\Rightarrow $ Hàm số $y=f(x)$ đồng biến trên khoảng $(0;+\infty )$
Khi đó $(1)$ $\Leftrightarrow f(9{{y}^{2}})=f(36-{{x}^{2}})$ $\Leftrightarrow 9{{y}^{2}}=36-{{x}^{2}}$ $\Leftrightarrow {{x}^{2}}+9{{y}^{2}}=36$
Vì $x;y\in \mathbb{Z};-6<x<6;y\ne 0$ nên nhận được $\left\{ \begin{aligned}
& x=0 \\
& y=\pm 2 \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow {{M}_{1}}(0 ;2);{{M}_{2}}(0 ;-2)$.
Đáp án D.