Google
Câu hỏi: [ Mức độ 4] Cho hàm số $f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như sau:
Số nghiệm thuộc đoạn $\left[ -\dfrac{7\pi }{4};\dfrac{13\pi }{4} \right]$ của phương trình $f\left( \sin x-\cos x \right)+1=0$ là
A. $6$.
B. $8$.
C. $10$.
D. $7$.
Số nghiệm thuộc đoạn $\left[ -\dfrac{7\pi }{4};\dfrac{13\pi }{4} \right]$ của phương trình $f\left( \sin x-\cos x \right)+1=0$ là
A. $6$.
B. $8$.
C. $10$.
D. $7$.
Xét hàm số $t=t\left( x \right)=\sin x-\cos x=\sqrt{2}\sin \left( x-\dfrac{\pi }{4} \right)$ trên đoạn $\left[ -\dfrac{7\pi }{4};\dfrac{13\pi }{4} \right]$ ta có
${t}'=\sqrt{2}\cos \left( x-\dfrac{\pi }{4} \right)=0\Leftrightarrow x\in \left\{ -\dfrac{5\pi }{4}; -\dfrac{\pi }{4}; \dfrac{3\pi }{4}; \dfrac{7\pi }{4}; \dfrac{11\pi }{4} \right\}$
Suy ra bảng biến thiên
Đặt $t=\sin x-\cos x$ thì phương trình $f\left( \sin x-\cos x \right)+1=0$ $\left( 1 \right)$ trở thành
$f\left( t \right)+1=0\Leftrightarrow f\left( t \right)=-1$ $\left( 2 \right)$, với $t\in \left[ -\sqrt{2}; \sqrt{2} \right]$
Dựa vào bảng biến thiên của hàm số $f\left( x \right)$ ta nhận thấy phương trình $\left( 2 \right)$ có hai nghiệm ${{t}_{1}}$ và ${{t}_{2}}$ thỏa $-\sqrt{2}<{{t}_{1}}<0$ và $0<{{t}_{2}}<\sqrt{2}$.
Khi đó dựa vào bảng biến thiên của hàm số $t=t\left( x \right)$ ta có:
+ Phương trình $\sin x-\cos x={{t}_{1}}$, $\left( -\sqrt{2}<{{t}_{1}}<0 \right)$ : có 4 nghiệm $x$ phân biệt.
+ Phương trình $\sin x-\cos x={{t}_{2}}$, $\left( 0<{{t}_{2}}<\sqrt{2} \right)$ : có 6 nghiệm $x$ phân biệt.
Vậy phương trình $f\left( \sin x-\cos x \right)+1=0$ có 10 nghiệm.
${t}'=\sqrt{2}\cos \left( x-\dfrac{\pi }{4} \right)=0\Leftrightarrow x\in \left\{ -\dfrac{5\pi }{4}; -\dfrac{\pi }{4}; \dfrac{3\pi }{4}; \dfrac{7\pi }{4}; \dfrac{11\pi }{4} \right\}$
Suy ra bảng biến thiên
Đặt $t=\sin x-\cos x$ thì phương trình $f\left( \sin x-\cos x \right)+1=0$ $\left( 1 \right)$ trở thành
$f\left( t \right)+1=0\Leftrightarrow f\left( t \right)=-1$ $\left( 2 \right)$, với $t\in \left[ -\sqrt{2}; \sqrt{2} \right]$
Dựa vào bảng biến thiên của hàm số $f\left( x \right)$ ta nhận thấy phương trình $\left( 2 \right)$ có hai nghiệm ${{t}_{1}}$ và ${{t}_{2}}$ thỏa $-\sqrt{2}<{{t}_{1}}<0$ và $0<{{t}_{2}}<\sqrt{2}$.
Khi đó dựa vào bảng biến thiên của hàm số $t=t\left( x \right)$ ta có:
+ Phương trình $\sin x-\cos x={{t}_{1}}$, $\left( -\sqrt{2}<{{t}_{1}}<0 \right)$ : có 4 nghiệm $x$ phân biệt.
+ Phương trình $\sin x-\cos x={{t}_{2}}$, $\left( 0<{{t}_{2}}<\sqrt{2} \right)$ : có 6 nghiệm $x$ phân biệt.
Vậy phương trình $f\left( \sin x-\cos x \right)+1=0$ có 10 nghiệm.
Đáp án C.