Google
Câu hỏi: [ Mức độ 2] Cho phương trình ${{\left( {{z}^{2}}+z \right)}^{2}}+7\left( {{z}^{2}}+z \right)+6=0$ có bốn nghiệm phức ${{z}_{1}}$, ${{z}_{2}}$, ${{z}_{3}}$, ${{z}_{4}}$. Tính $S={{z}_{1}}+{{z}_{2}}+{{z}_{3}}+{{z}_{4}}$
A. $-2$.
B. $-5$.
C. $-3$.
D. $-1$.
A. $-2$.
B. $-5$.
C. $-3$.
D. $-1$.
Ta có ${{\left( {{z}^{2}}+z \right)}^{2}}+7\left( {{z}^{2}}+z \right)+6=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{z}^{2}}+z=-6 \left( 1 \right) \\
& {{z}^{2}}+z=-1 \left( 2 \right) \\
\end{aligned} \right.$.
Giả sử ${{z}_{1}}$, ${{z}_{2}}$ là hai nghiệm của phương trình $\left( 1 \right)$, ${{z}_{3}}$, ${{z}_{4}}$ là hai nghiệm của phương trình $\left( 2 \right)$, áp dụng định lí Vi-ét ta có :
${{z}_{1}}+{{z}_{2}}=\dfrac{-b}{a}=-1 ; {{z}_{3}}+{{z}_{4}}=\dfrac{-b}{a}=-1$. Do đó $S={{z}_{1}}+{{z}_{2}}+{{z}_{3}}+{{z}_{4}}=-2$.
Cách 2 (phản biện):
${{\left( {{z}^{2}}+z \right)}^{2}}+7\left( {{z}^{2}}+z \right)+6=0\Leftrightarrow {{z}^{4}}+2{{z}^{3}}+8{{z}^{2}}+7z+6=0$.
Theo Vi-ét ta có $S={{z}_{1}}+{{z}_{2}}+{{z}_{3}}+{{z}_{4}}=\dfrac{-2}{1}=-2$.
& {{z}^{2}}+z=-6 \left( 1 \right) \\
& {{z}^{2}}+z=-1 \left( 2 \right) \\
\end{aligned} \right.$.
Giả sử ${{z}_{1}}$, ${{z}_{2}}$ là hai nghiệm của phương trình $\left( 1 \right)$, ${{z}_{3}}$, ${{z}_{4}}$ là hai nghiệm của phương trình $\left( 2 \right)$, áp dụng định lí Vi-ét ta có :
${{z}_{1}}+{{z}_{2}}=\dfrac{-b}{a}=-1 ; {{z}_{3}}+{{z}_{4}}=\dfrac{-b}{a}=-1$. Do đó $S={{z}_{1}}+{{z}_{2}}+{{z}_{3}}+{{z}_{4}}=-2$.
Cách 2 (phản biện):
${{\left( {{z}^{2}}+z \right)}^{2}}+7\left( {{z}^{2}}+z \right)+6=0\Leftrightarrow {{z}^{4}}+2{{z}^{3}}+8{{z}^{2}}+7z+6=0$.
Theo Vi-ét ta có $S={{z}_{1}}+{{z}_{2}}+{{z}_{3}}+{{z}_{4}}=\dfrac{-2}{1}=-2$.
Đáp án A.