T

Một tấm tôn hình tam giác $ABC$ có độ dài cạnh...

Câu hỏi: Một tấm tôn hình tam giác $ABC$ có độ dài cạnh $AB=3;AC=2;BC=\sqrt{19}$. Điểm $H$ là chân đường cao kẻ từ đỉnh $A$ của tam giác $ABC$. Người ta dùng compa có tâm là $A$, bán kính $AH$ vạch một cung tròn $MN$. Lấy phần hình quạt gò thành hình nón không có mặt đáy với đỉnh là $A$, cung $MN$ thành đường tròn đáy của hình nón (như hình vẽ). Tính thể tích khối nón trên.
image18.png
A. $\dfrac{2\pi \sqrt{114}}{361}$.
B. $\dfrac{\pi \sqrt{57}}{361}$.
C. $\dfrac{2\pi \sqrt{3}}{19}$.
D. $\dfrac{2\pi \sqrt{19}}{361}$.

image19.png
Theo định lý côsin trong tam giác $ABC$ ta có
$B{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}-2.AB.AC.\cos \widehat{BAC}$ $\Rightarrow \cos \widehat{BAC}=\dfrac{A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}-B{{C}^{2}}}{2.AB.AC}=-\dfrac{1}{2}\Rightarrow \widehat{BAC}=120{}^\circ $ hay $\widehat{BAC}=\dfrac{2\pi }{3}$.
Suy ra diện tích tam giác $ABC$ là ${{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{2}AB.AC.\sin \widehat{BAC}=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$.
Mà ${{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{2}AH.BC\Rightarrow AH=\dfrac{2{{S}_{ABC}}}{BC}=\dfrac{3\sqrt{57}}{19}$.
Gọi $r$ là bán kính đáy của hình nón. Suy ra $2\pi r=\dfrac{2\pi }{3}AH\Rightarrow r=\dfrac{AH}{3}=\dfrac{\sqrt{57}}{19}$.
Chiều cao của khối nón bằng $h=\sqrt{A{{H}^{2}}-{{r}^{2}}}=\dfrac{2\sqrt{114}}{19}$.
Thể tích bằng $V=\dfrac{1}{3}\pi {{r}^{2}}h=\dfrac{1}{3}\pi .{{\left( \dfrac{\sqrt{57}}{19} \right)}^{2}}\cdot \dfrac{2\sqrt{114}}{19}=\dfrac{2\pi \sqrt{114}}{361}$.
Đáp án A.
 

Câu hỏi này có trong đề thi

Quảng cáo

Back
Top