Google
Câu hỏi: Một sợi dây có chiều dài ${28m}$ được cắt thành hai đoạn để làm thành một hình vuông và một hình tròn. Tính chiều dài (theo đơn vị mét) của đoạn dây làm thành hình vuông được cắt ra sao cho tổng diện tích hình vuông và hình tròn là nhỏ nhất.
A. ${\dfrac{112}{4+\pi }.}$
B. ${\dfrac{56}{4+\pi }.}$
C. ${\dfrac{84}{4+\pi }.}$
D. ${\dfrac{92}{4+\pi }.}$
A. ${\dfrac{112}{4+\pi }.}$
B. ${\dfrac{56}{4+\pi }.}$
C. ${\dfrac{84}{4+\pi }.}$
D. ${\dfrac{92}{4+\pi }.}$
Ta gọi chiều dài sợi dây cắt ra là $x\left( m \right)$ để tạo thành một hình vuông
Nên diện tích hình vuông ${{S}_{hv}}={{\left( \dfrac{x}{4} \right)}^{2}}=\dfrac{{{x}^{2}}}{16}\left( {{m}^{2}} \right)$
Đoạn chiều dài còn lại để làm hình tròn là $28-x$, đó cũng là chu vi hình tròn
Suy ra bán kính của hình tròn được tạo thành bằng $R=\dfrac{28-x}{2\pi }$
Nên diện tích hình tròn ${{S}_{tron}}={{\left( \dfrac{28-x}{2\pi } \right)}^{2}}.\pi \left( {{m}^{2}} \right)$
Từ đây ta suy ra tổng diện tích là
${{S}_{hv}}+{{S}_{tron}}=f\left( x \right)=\dfrac{{{x}^{2}}}{16}+{{\left( \dfrac{28-x}{4\pi } \right)}^{2}}=\left( \dfrac{1}{16}+\dfrac{1}{4\pi } \right){{x}^{2}}-\dfrac{14}{\pi }x+\dfrac{{{28}^{2}}}{4\pi }$
đạt nhỏ nhất khi $x=\dfrac{112}{4+\pi }$ chọn A
Nên diện tích hình vuông ${{S}_{hv}}={{\left( \dfrac{x}{4} \right)}^{2}}=\dfrac{{{x}^{2}}}{16}\left( {{m}^{2}} \right)$
Đoạn chiều dài còn lại để làm hình tròn là $28-x$, đó cũng là chu vi hình tròn
Suy ra bán kính của hình tròn được tạo thành bằng $R=\dfrac{28-x}{2\pi }$
Nên diện tích hình tròn ${{S}_{tron}}={{\left( \dfrac{28-x}{2\pi } \right)}^{2}}.\pi \left( {{m}^{2}} \right)$
Từ đây ta suy ra tổng diện tích là
${{S}_{hv}}+{{S}_{tron}}=f\left( x \right)=\dfrac{{{x}^{2}}}{16}+{{\left( \dfrac{28-x}{4\pi } \right)}^{2}}=\left( \dfrac{1}{16}+\dfrac{1}{4\pi } \right){{x}^{2}}-\dfrac{14}{\pi }x+\dfrac{{{28}^{2}}}{4\pi }$
đạt nhỏ nhất khi $x=\dfrac{112}{4+\pi }$ chọn A
Đáp án A.