Google
Câu hỏi: Một nhà sản xuất sữa bột dành cho trẻ em cần thiết kế hộp sữa có dạng một hình trụ có thể tích bằng $1 \text{d}{{\text{m}}^{3}}$. Để diện tích toàn phần (nguyên liệu làm vỏ hộp) nhỏ nhất thì chiều cao của hộp sữa là bao nhiêu?
A. $h=\sqrt[3]{\dfrac{4}{\pi }} \left( \text{dm} \right)$.
B. $h=\sqrt[3]{\dfrac{2}{\pi }} \left( \text{dm} \right)$.
C. $h=\sqrt{\dfrac{4}{\pi }} \left( \text{dm} \right)$.
D. $h=\sqrt[3]{\dfrac{3}{\pi }} \left( \text{dm} \right)$.
A. $h=\sqrt[3]{\dfrac{4}{\pi }} \left( \text{dm} \right)$.
B. $h=\sqrt[3]{\dfrac{2}{\pi }} \left( \text{dm} \right)$.
C. $h=\sqrt{\dfrac{4}{\pi }} \left( \text{dm} \right)$.
D. $h=\sqrt[3]{\dfrac{3}{\pi }} \left( \text{dm} \right)$.
▪ Gọi $h$ là chiều cao hình trụ. Khi đó bán kính đáy trụ là: $V=\pi {{r}^{2}}.h\Rightarrow {{r}^{2}}=\dfrac{1}{\pi .h}\Rightarrow r=\sqrt{\dfrac{1}{\pi .h}}$.
▪ Diện tích toàn phần của hình trụ:
$S=2\pi rh+2\pi {{r}^{2}}=2\pi \left( \sqrt{\dfrac{1}{\pi h}}.h+\dfrac{1}{\pi h} \right)$ $=2\pi \left( \sqrt{\dfrac{h}{\pi }}+\dfrac{1}{\pi h} \right)=2\left( \sqrt{\pi h}+\dfrac{1}{h} \right)$
$=\sqrt{\pi }\sqrt{h}+\sqrt{\pi }\sqrt{h}+\dfrac{2}{h} \overset{\text{Cauchy}}{\mathop{\ge }} 3\sqrt[3]{2\pi }$.
▪ Suy ra ${{S}_{Min}}=3\sqrt[3]{2\pi }$ đẳng thức xảy ra khi $\sqrt{\pi }.\sqrt{h}=\dfrac{2}{h}\Leftrightarrow h\sqrt{h}=\dfrac{2}{\sqrt{\pi }}\Leftrightarrow {{h}^{3}}=\dfrac{4}{\pi }\Leftrightarrow h=\sqrt[3]{\dfrac{4}{\pi }}$.
▪ Diện tích toàn phần của hình trụ:
$S=2\pi rh+2\pi {{r}^{2}}=2\pi \left( \sqrt{\dfrac{1}{\pi h}}.h+\dfrac{1}{\pi h} \right)$ $=2\pi \left( \sqrt{\dfrac{h}{\pi }}+\dfrac{1}{\pi h} \right)=2\left( \sqrt{\pi h}+\dfrac{1}{h} \right)$
$=\sqrt{\pi }\sqrt{h}+\sqrt{\pi }\sqrt{h}+\dfrac{2}{h} \overset{\text{Cauchy}}{\mathop{\ge }} 3\sqrt[3]{2\pi }$.
▪ Suy ra ${{S}_{Min}}=3\sqrt[3]{2\pi }$ đẳng thức xảy ra khi $\sqrt{\pi }.\sqrt{h}=\dfrac{2}{h}\Leftrightarrow h\sqrt{h}=\dfrac{2}{\sqrt{\pi }}\Leftrightarrow {{h}^{3}}=\dfrac{4}{\pi }\Leftrightarrow h=\sqrt[3]{\dfrac{4}{\pi }}$.
Đáp án A.