Google
Câu hỏi: Một nhà máy cần sản xuất các hộp hình trụ kín cả hai đầu có thể tích $V$ cho trước. Mối quan hệ giữa bán kính đáy $R$ và chiều cao $h$ của hình trụ để diện tích toàn phần của hình trụ nhỏ nhất là
A. $h=R.$
B. $h=3R.$
C. $h=2R.$
D. $R=2h.$
A. $h=R.$
B. $h=3R.$
C. $h=2R.$
D. $R=2h.$
Đặt $R=x,$ điều kiện $x>0.$
$V=\pi {{x}^{2}}h\Rightarrow h=\dfrac{V}{\pi {{x}^{2}}}\Rightarrow \dfrac{h}{R}=\dfrac{V}{\pi {{x}^{3}}}$.
${{S}_{TP}}=2\pi R\left( h+R \right)=2\pi x\left( \dfrac{V}{\pi {{x}^{2}}}+x \right)=\dfrac{2V}{x}+2\pi {{x}^{2}}.$
Xét hàm số: $f\left( x \right)=\dfrac{2V}{x}+2\pi {{x}^{2}}$ với $x>0.$
Ta có: $f'\left( x \right)=-\dfrac{2V}{{{x}^{2}}}+4\pi x=\dfrac{4\pi {{x}^{3}}-2V}{{{x}^{2}}}.$
Khi đó: $f'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=\sqrt[3]{\dfrac{V}{2\pi }}$
Ta có BBT:
Từ BBT trên ta thấy ${{S}_{TP}}$ nhỏ nhất khi $x=\sqrt[3]{\dfrac{V}{2\pi }}$
Khi đó: $\dfrac{H}{R}=\dfrac{V}{\pi \dfrac{V}{2\pi }}=2\Leftrightarrow h=2R.$
$V=\pi {{x}^{2}}h\Rightarrow h=\dfrac{V}{\pi {{x}^{2}}}\Rightarrow \dfrac{h}{R}=\dfrac{V}{\pi {{x}^{3}}}$.
${{S}_{TP}}=2\pi R\left( h+R \right)=2\pi x\left( \dfrac{V}{\pi {{x}^{2}}}+x \right)=\dfrac{2V}{x}+2\pi {{x}^{2}}.$
Xét hàm số: $f\left( x \right)=\dfrac{2V}{x}+2\pi {{x}^{2}}$ với $x>0.$
Ta có: $f'\left( x \right)=-\dfrac{2V}{{{x}^{2}}}+4\pi x=\dfrac{4\pi {{x}^{3}}-2V}{{{x}^{2}}}.$
Khi đó: $f'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=\sqrt[3]{\dfrac{V}{2\pi }}$
Ta có BBT:
Từ BBT trên ta thấy ${{S}_{TP}}$ nhỏ nhất khi $x=\sqrt[3]{\dfrac{V}{2\pi }}$
Khi đó: $\dfrac{H}{R}=\dfrac{V}{\pi \dfrac{V}{2\pi }}=2\Leftrightarrow h=2R.$
Đáp án C.