Google
Câu hỏi: Một người thợ thủ công cần làm một cái thùng hình hộp đứng không nắp đáy là hình vuông có thể tích $100c{{m}^{3}}$. Để tiết kiệm vật liệu làm thùng, người đó cần thiết kế sao cho tổng S của diện tích xung quanh và diện tích mặt đáy là nhỏ nhất.
A. $S=30\sqrt[3]{40}.$
B. $S=40\sqrt[3]{40}.$
C. $S=10\sqrt[3]{40}.$
D. $S=20\sqrt[3]{40}.$
A. $S=30\sqrt[3]{40}.$
B. $S=40\sqrt[3]{40}.$
C. $S=10\sqrt[3]{40}.$
D. $S=20\sqrt[3]{40}.$
Gọi cạnh đáy, cạnh bên của hình hộp đứng lần lượt là x và y ( $x,y>0$ )
Ta có: $V=100\Rightarrow {{x}^{2}}y=100\Rightarrow y=\dfrac{100}{{{x}^{2}}}$. Khi đó: $S=4\text{x}y+{{x}^{2}}=4\text{x}\text{.}\dfrac{100}{{{x}^{2}}}+{{x}^{2}}=\dfrac{400}{x}+{{x}^{2}}$
$=\dfrac{200}{x}+\dfrac{200}{x}+{{x}^{2}}\ge 3\sqrt[3]{\dfrac{200}{x}.\dfrac{200}{x}.{{x}^{2}}}=3\sqrt[3]{{{4.10}^{3}}}=30\sqrt[3]{40}$.
Vậy S đạt giá trị nhỏ nhất bằng $30\sqrt[3]{40}$ khi $\dfrac{200}{x}={{x}^{2}}\Leftrightarrow {{x}^{3}}=200\Leftrightarrow x=\sqrt[3]{200}$.
Ta có: $V=100\Rightarrow {{x}^{2}}y=100\Rightarrow y=\dfrac{100}{{{x}^{2}}}$. Khi đó: $S=4\text{x}y+{{x}^{2}}=4\text{x}\text{.}\dfrac{100}{{{x}^{2}}}+{{x}^{2}}=\dfrac{400}{x}+{{x}^{2}}$
$=\dfrac{200}{x}+\dfrac{200}{x}+{{x}^{2}}\ge 3\sqrt[3]{\dfrac{200}{x}.\dfrac{200}{x}.{{x}^{2}}}=3\sqrt[3]{{{4.10}^{3}}}=30\sqrt[3]{40}$.
Vậy S đạt giá trị nhỏ nhất bằng $30\sqrt[3]{40}$ khi $\dfrac{200}{x}={{x}^{2}}\Leftrightarrow {{x}^{3}}=200\Leftrightarrow x=\sqrt[3]{200}$.
Đáp án A.