Một người thợ có một khối đá hình trụ. Kẻ hai đường kính $M N, P Q$ ...

The Professor · 19/12/21

Câu hỏi: Một người thợ có một khối đá hình trụ. Kẻ hai đường kính

M N, P Q

của hai đáy sao cho

M N ⊥ P Q .

Người thợ đó cắt khối đá theo các mặt cắt đi qua 3 trong 4 điểm

M, N, P, Q

để thu được khối đá có hình tứ diện

M N P Q

. Biết rằng

M N = 60

cm và thể tích khối tứ diện

M N P Q

bằng

36 d m^{3} .

Tìm thể tích của lượng đá bị cắt bỏ (làm tròn kết quả đến 1 chữ số thập phân).
A.

133, 6 d m^{3}

.
B. 113,6

d m^{3}

.
C. 143,6

d m^{3}

.
D. 123,6

d m^{3}

.

Dựng hình lăng trụ

M P^{'} N Q^{'} . M^{'} P N^{'} Q

(như hình vẽ)
Khi đó, ta có

V_{M N P Q} = V_{M P^{'} N Q^{'} . M^{'} P N^{'} Q} - (V_{P . M N P^{'}} + V_{Q . M N Q^{'}} + V_{M . M^{'} P Q} + V_{N . N^{'} P Q}) = V_{M P^{'} N Q^{'} . N^{'} P N^{'} Q} - 4. V_{P . M N P^{'}}

\begin{aligned} = V_{M P^{'} N Q^{'} . P N^{'} Q} - 4. \frac{1}{2} V_{P . M Q^{'} N P^{'}} = V_{M P^{'} N Q^{'} . M^{'} P N^{'} Q} - 2 V_{P . M Q^{'} N P^{'}} \\ = V_{M P^{'} N Q^{'} . P N^{'} Q} - 2. \frac{1}{3} V_{M P^{'} N Q^{'} . P N^{'} Q} \\ = \frac{1}{3} V_{M P^{'} N Q^{'} . P N^{'} Q} . \end{aligned}

\Rightarrow \frac{1}{3} V_{M P^{'} N Q^{'} . P N^{'} Q} = 36 (d m^{3}) \Leftrightarrow V_{M P^{'} N Q^{'} . P N^{'} Q} = 108 (d m^{3})

Do

M N ⊥ P Q, P Q / / P^{'} Q^{'}

nên

M N ⊥ P^{'} Q^{'} \Rightarrow M P^{'} N Q^{'}

là hình vuông
Ta có

M N = 60 c m \Rightarrow {\begin{aligned} M Q = \frac{60}{\sqrt{2}} = 30 \sqrt{2} (c m) = 3 \sqrt{2} (d m) \\ O M = \frac{60}{2} = 30 (c m) = 3 (d m) \end{aligned}

\Rightarrow S_{M P^{'} N Q^{'}} = {(3 \sqrt{2})}^{2} = 18 (d m^{2})

V_{M P^{'} N Q^{'} . P N^{'} Q} = S_{M P^{'} N Q^{'}} . h \Rightarrow 18 h = 108 \Leftrightarrow h = 6 (d m)

Thể tích khối trụ là

V = π R^{2} h = π . O M^{2} h = π {.3}^{2} .6 = 54 π (d m^{3})

Thể tích của lượng đá bị cắt bỏ là

54 π - 36 \approx 133, 6 (d m^{3}) .

Đáp án A.

Một người thợ có một khối đá hình trụ. Kẻ hai đường kính MN,PQ...