Google
Câu hỏi: Một người muốn xây một cái bể chứa nước, dạng một khối hộp chữ nhật không nắp có thể tích bằng $\dfrac{256}{3}$ ${{\text{m}}^{3}}$, đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng. Giá thuê nhân công để xây bể là $500000$ đồng/ ${{\text{m}}^{3}}$. Nếu người đó biết xác định các kích thước của bể hợp lí thì chi phí thuê nhân công sẽ thấp nhất. Hỏi người đó trả chi phí thấp nhất để thuê nhân công xây dựng bể đó là bao nhiêu?
A. $48$ triệu đồng.
B. $47$ triệu đồng.
C. $96$ triệu đồng.
D. $46$ triệu đồng.
A. $48$ triệu đồng.
B. $47$ triệu đồng.
C. $96$ triệu đồng.
D. $46$ triệu đồng.
Gọi $x \left( \text{m} \right)$ là chiều rộng của đáy bể, khi đó chiều dài của đáy bể là $2x\left( \text{m} \right)$ và $h\left( \text{m} \right)$ là chiều cao bể.
Bể có thể tích bằng $\dfrac{256}{3}{{\text{m}}^{\text{3}}}$ $\Rightarrow $ $2{{x}^{2}}h=\dfrac{256}{3}$ $\Leftrightarrow $ $h=\dfrac{128}{3{{x}^{2}}}$.
Diện tích cần xây là $S=2\left( xh+2xh \right)+2{{x}^{2}}$ $=6x\dfrac{128}{3{{x}^{2}}}+2{{x}^{2}}=\dfrac{256}{x}+2{{x}^{2}}$.
Xét hàm $S\left( x \right)=\dfrac{256}{x}+2{{x}^{2}},\left( x>0 \right)$ $\Rightarrow {S}'\left( x \right)=-\dfrac{256}{{{x}^{2}}}+4x=0$ $\Leftrightarrow x=4$.
Lập bảng biến thiên suy ra ${{S}_{\min }}=S\left( 4 \right)=96$.
Chi phí thuê nhân công thấp nhất khi diện tích xây dựng là nhỏ nhất và bằng ${{S}_{\min }}=96$.
Vậy giá thuê nhân công thấp nhất là $96.500000=48000000$ đồng.
Chú ý: Có thể sử dụng BĐT Cô si để tìm min, cụ thể
$S=\dfrac{256}{x}+2{{x}^{2}}$ $=\dfrac{128}{x}+\dfrac{128}{x}+2{{x}^{2}}$ $\ge 3\sqrt[3]{{{128}^{2}}.2}$ $\Leftrightarrow S\ge 96$ $\Rightarrow $ ${{S}_{\min }}=96$ khi $\dfrac{128}{x}=2{{x}^{2}}$ $\Leftrightarrow x=4$.
Bể có thể tích bằng $\dfrac{256}{3}{{\text{m}}^{\text{3}}}$ $\Rightarrow $ $2{{x}^{2}}h=\dfrac{256}{3}$ $\Leftrightarrow $ $h=\dfrac{128}{3{{x}^{2}}}$.
Diện tích cần xây là $S=2\left( xh+2xh \right)+2{{x}^{2}}$ $=6x\dfrac{128}{3{{x}^{2}}}+2{{x}^{2}}=\dfrac{256}{x}+2{{x}^{2}}$.
Xét hàm $S\left( x \right)=\dfrac{256}{x}+2{{x}^{2}},\left( x>0 \right)$ $\Rightarrow {S}'\left( x \right)=-\dfrac{256}{{{x}^{2}}}+4x=0$ $\Leftrightarrow x=4$.
Lập bảng biến thiên suy ra ${{S}_{\min }}=S\left( 4 \right)=96$.
Chi phí thuê nhân công thấp nhất khi diện tích xây dựng là nhỏ nhất và bằng ${{S}_{\min }}=96$.
Vậy giá thuê nhân công thấp nhất là $96.500000=48000000$ đồng.
Chú ý: Có thể sử dụng BĐT Cô si để tìm min, cụ thể
$S=\dfrac{256}{x}+2{{x}^{2}}$ $=\dfrac{128}{x}+\dfrac{128}{x}+2{{x}^{2}}$ $\ge 3\sqrt[3]{{{128}^{2}}.2}$ $\Leftrightarrow S\ge 96$ $\Rightarrow $ ${{S}_{\min }}=96$ khi $\dfrac{128}{x}=2{{x}^{2}}$ $\Leftrightarrow x=4$.
Đáp án A.