Google
Câu hỏi: Một mảnh vườn hình tròn tâm O có bán kính 6m. Người ta trồng cây trên dải đất rộng 6m nhận O làm tâm đối xứng, biết chi phí trồng cây là 50000 đồng một mét vuông. Hỏi cần bao nhiêu tiền để trồng cây trên dải đất đó (số tiền làm tròn đến hàng đơn vị).
A. 3 443 800 đồng.
B. 3 443 801 đồng.
C. 7 443 001 đồng.
D. 3 443 802 đồng.
A. 3 443 800 đồng.
B. 3 443 801 đồng.
C. 7 443 001 đồng.
D. 3 443 802 đồng.
Xét hệ trục tọa độ Oxyz đặt vào tâm khu vườn.
Khi đó phương trình đường tròn tâm $O\left( 0;0 \right)$ bán kính $R=6$ là ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}=36.$
Xét nửa cung tròn phía trên trục Ox có phương trình là $y=\sqrt{36-{{x}^{2}}}.$
Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=\sqrt{36-{{x}^{2}}},y=0,x=-3,x=3,$ S là diện tích của mảnh đất trồng cây thì $S=2\int\limits_{-3}^{3}{\sqrt{36-{{x}^{2}}}dx.}$
Đặt $x=6\sin t\Rightarrow dx=6\text{cos}tdt.$ Đổi cận $x=-3\Rightarrow t=-\dfrac{\pi }{6};x=3\Rightarrow t=\dfrac{\pi }{6}$
Suy ra $S=2\int\limits_{-\dfrac{\pi }{6}}^{\dfrac{\pi }{6}}{36\text{co}{{\text{s}}^{2}}tdt}=36\int\limits_{-\dfrac{\pi }{6}}^{\dfrac{\pi }{6}}{\left( \text{1+cos2}t \right)dt}=\left. 36\left( t+\dfrac{\sin 2t}{2} \right) \right|_{-\dfrac{\pi }{6}}^{\dfrac{\pi }{6}}=18\sqrt{3}+12\pi \left( {{m}^{2}} \right).$
Vậy số tiền cần dùng là $50000.S=3 443 801$ (đồng).
Khi đó phương trình đường tròn tâm $O\left( 0;0 \right)$ bán kính $R=6$ là ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}=36.$
Xét nửa cung tròn phía trên trục Ox có phương trình là $y=\sqrt{36-{{x}^{2}}}.$
Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=\sqrt{36-{{x}^{2}}},y=0,x=-3,x=3,$ S là diện tích của mảnh đất trồng cây thì $S=2\int\limits_{-3}^{3}{\sqrt{36-{{x}^{2}}}dx.}$
Đặt $x=6\sin t\Rightarrow dx=6\text{cos}tdt.$ Đổi cận $x=-3\Rightarrow t=-\dfrac{\pi }{6};x=3\Rightarrow t=\dfrac{\pi }{6}$
Suy ra $S=2\int\limits_{-\dfrac{\pi }{6}}^{\dfrac{\pi }{6}}{36\text{co}{{\text{s}}^{2}}tdt}=36\int\limits_{-\dfrac{\pi }{6}}^{\dfrac{\pi }{6}}{\left( \text{1+cos2}t \right)dt}=\left. 36\left( t+\dfrac{\sin 2t}{2} \right) \right|_{-\dfrac{\pi }{6}}^{\dfrac{\pi }{6}}=18\sqrt{3}+12\pi \left( {{m}^{2}} \right).$
Vậy số tiền cần dùng là $50000.S=3 443 801$ (đồng).
Đáp án B.