Google
Câu hỏi: Một kĩ sư được một công ty xăng dầu thuê thiết kế một mẫu bồn chứa xăng với thể tích V cho trước, hình dạng như hình bên, các kích thước r, h thay đổi sao cho nguyên vật liệu làm bồn xăng là ít nhất.
Người kĩ sư này phải thiết kế kích thước h như thế nào để đảm bảo được đúng yêu cầu mà công ty xăng dầu đã đưa ra?
A. $h=0.$
B. $h=\dfrac{\sqrt[3]{V}}{\pi }.$
C. $h=2\sqrt[3]{V}.$
D. $h=\dfrac{\sqrt[3]{V}}{2}.$
Người kĩ sư này phải thiết kế kích thước h như thế nào để đảm bảo được đúng yêu cầu mà công ty xăng dầu đã đưa ra?
A. $h=0.$
B. $h=\dfrac{\sqrt[3]{V}}{\pi }.$
C. $h=2\sqrt[3]{V}.$
D. $h=\dfrac{\sqrt[3]{V}}{2}.$
Điều kiện $h\ge 0$
Ta có: $V=\dfrac{4}{3}\pi {{r}^{3}}+\pi {{r}^{2}}h\Rightarrow h=\dfrac{V-\dfrac{4}{3}\pi {{r}^{3}}}{\pi {{r}^{2}}}$
Diện tích toàn phần của bồn xăng là $S\left( r \right)=4\pi {{r}^{2}}+2\pi rh\Rightarrow h=\dfrac{4\pi {{r}^{3}}+2V-\dfrac{8}{3}\pi {{r}^{3}}}{r}$
Ta có: ${S}'\left( r \right)=\dfrac{\dfrac{8}{3}\pi {{r}^{3}}-2V}{{{r}^{2}}}=0\Leftrightarrow \dfrac{8}{3}\pi {{r}^{3}}=2V\Leftrightarrow r=\sqrt[3]{\dfrac{3V}{4\pi }}.$
Lập bảng biến thiên ta sẽ thấy ${{S}_{\min }}\Leftrightarrow r=\sqrt[3]{\dfrac{3V}{4\pi }}\Rightarrow h=\dfrac{4\pi .\dfrac{3V}{4\pi }+2V-\dfrac{8}{3}\pi .\dfrac{3V}{4\pi }}{r}=0$ nguyên vật liệu làm bồn xăng là ít nhất $\Leftrightarrow {{S}_{\min }}\Leftrightarrow h=0.$
Ta có: $V=\dfrac{4}{3}\pi {{r}^{3}}+\pi {{r}^{2}}h\Rightarrow h=\dfrac{V-\dfrac{4}{3}\pi {{r}^{3}}}{\pi {{r}^{2}}}$
Diện tích toàn phần của bồn xăng là $S\left( r \right)=4\pi {{r}^{2}}+2\pi rh\Rightarrow h=\dfrac{4\pi {{r}^{3}}+2V-\dfrac{8}{3}\pi {{r}^{3}}}{r}$
Ta có: ${S}'\left( r \right)=\dfrac{\dfrac{8}{3}\pi {{r}^{3}}-2V}{{{r}^{2}}}=0\Leftrightarrow \dfrac{8}{3}\pi {{r}^{3}}=2V\Leftrightarrow r=\sqrt[3]{\dfrac{3V}{4\pi }}.$
Lập bảng biến thiên ta sẽ thấy ${{S}_{\min }}\Leftrightarrow r=\sqrt[3]{\dfrac{3V}{4\pi }}\Rightarrow h=\dfrac{4\pi .\dfrac{3V}{4\pi }+2V-\dfrac{8}{3}\pi .\dfrac{3V}{4\pi }}{r}=0$ nguyên vật liệu làm bồn xăng là ít nhất $\Leftrightarrow {{S}_{\min }}\Leftrightarrow h=0.$
Đáp án A.