Google
Câu hỏi: Một khúc gỗ hình trụ có bán kính $R$ bị cắt bởi một mặt phẳng không song song với đáy ta được thiết diện là một hình elip. Khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt đáy là $12\ \text{cm}$ khoảng cách từ điểm $B$ đến mặt đáy là $20\ \text{cm}$. Đặt khúc gỗ đó vào trong hình hộp chữ nhật cóchiều cao bằng $20\ \text{cm}$ chứa đầy nước sao cho đường tròn đáy của khúc gỗ tiếp xúc với các cạnh đáy của hình hộp chữ nhật. Sau đó, người ta đo lượng nước còn lại trong hình hộp chữ nhật là $2$ lít. Tính diện tích hình elip thiết diện ( làm tròn đến chữ số thập phân thứ tư sau dấu phẩy và $\pi \simeq 3,14$ ).
A. $S=0,0241\left( {{\text{m}}^{2}} \right)$
B. $S=0,0228\left( {{\text{m}}^{2}} \right)$
C. $S=0,0235\left( {{\text{m}}^{2}} \right)$
D. $S=0,0231\left( {{\text{m}}^{2}} \right)$
A. $S=0,0241\left( {{\text{m}}^{2}} \right)$
B. $S=0,0228\left( {{\text{m}}^{2}} \right)$
C. $S=0,0235\left( {{\text{m}}^{2}} \right)$
D. $S=0,0231\left( {{\text{m}}^{2}} \right)$
Giả sử $R$ có đơn vị là $\text{m}$.
Ta có: $2\left( l \right)=0.002$ $\left( {{\text{m}}^{3}} \right)$.
Thể tích khối hộp bằng $4{{R}^{2}}.0,2=0,8{{R}^{2}}$ $\left( {{\text{m}}^{3}} \right)$.
Thể tích khúc gỗ bằng $\pi {{R}^{2}}\left( \dfrac{0,12+0,2}{2} \right)=0,16\pi {{R}^{2}}$ $\left( {{\text{m}}^{3}} \right)$.
Suy ra : $0,8{{R}^{2}}-0,16\pi {{R}^{2}}=0,002\Rightarrow R=\sqrt{\dfrac{0,002}{0,8-0,16\pi }}$
Khi đó $AB=\sqrt{4{{R}^{2}}+{{\left( 0,08 \right)}^{2}}}$.
Vậy elip thiết diện có độ dài trục lớn $2a=AB\left( \text{cm} \right)\Rightarrow a=\dfrac{AB}{2}\left( \text{cm} \right)$ và độ dài trục bé $2b=2R\Rightarrow b=R\left( \text{cm} \right)$.
Diện tích của thiết diện là: $S=\pi .a.b\simeq 0,0235\left( {{\text{m}}^{\text{2}}} \right)$.
Ta có: $2\left( l \right)=0.002$ $\left( {{\text{m}}^{3}} \right)$.
Thể tích khối hộp bằng $4{{R}^{2}}.0,2=0,8{{R}^{2}}$ $\left( {{\text{m}}^{3}} \right)$.
Thể tích khúc gỗ bằng $\pi {{R}^{2}}\left( \dfrac{0,12+0,2}{2} \right)=0,16\pi {{R}^{2}}$ $\left( {{\text{m}}^{3}} \right)$.
Suy ra : $0,8{{R}^{2}}-0,16\pi {{R}^{2}}=0,002\Rightarrow R=\sqrt{\dfrac{0,002}{0,8-0,16\pi }}$
Khi đó $AB=\sqrt{4{{R}^{2}}+{{\left( 0,08 \right)}^{2}}}$.
Vậy elip thiết diện có độ dài trục lớn $2a=AB\left( \text{cm} \right)\Rightarrow a=\dfrac{AB}{2}\left( \text{cm} \right)$ và độ dài trục bé $2b=2R\Rightarrow b=R\left( \text{cm} \right)$.
Diện tích của thiết diện là: $S=\pi .a.b\simeq 0,0235\left( {{\text{m}}^{\text{2}}} \right)$.
Đáp án C.