Google
Câu hỏi: Một khối pha lê gồm một hình cầu $\left( {{H}_{1}} \right)$ bán kính $R$ và một hình nón $\left( {{H}_{2}} \right)$ có bán kính đáy và đường sinh lần lượt là $r,l$ thỏa mãn $r=\dfrac{1}{2}l$ và $l=\dfrac{3}{2}R$ xếp chồng lên nhau (hình vẽ). Biết tổng diện tích mặt cầu $\left( {{H}_{1}} \right)$ và diện tích toàn phần của hình nón $\left( {{H}_{2}} \right)$ là $91c{{m}^{2}}.$ Tính diện tích của khối cầu $\left( {{H}_{1}} \right)$
A. $\dfrac{104}{5}c{{m}^{2}}$
B. $16c{{m}^{2}}$
C. $64c{{m}^{2}}$
D. $\dfrac{26}{5}c{{m}^{2}}$
A. $\dfrac{104}{5}c{{m}^{2}}$
B. $16c{{m}^{2}}$
C. $64c{{m}^{2}}$
D. $\dfrac{26}{5}c{{m}^{2}}$
Diện tích mặt cầu $\left( {{H}_{1}} \right)$ là ${{S}_{1}}=4\pi {{R}^{2}}$
Diện tích toàn phần hình nón $\left( {{H}_{2}} \right)$ là ${{S}_{2}}=\pi rl+\pi {{r}^{2}}$
Theo bài ra, ta có $\left\{ \begin{aligned}
& r=\dfrac{1}{2}l;l=\dfrac{3}{2}R \\
& {{S}_{1}}+{{S}_{2}}=91 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& l=2r;R=\dfrac{4r}{3} \\
& 4\pi {{R}^{2}}+\pi rl+\pi {{r}^{2}}=91 \\
\end{aligned} \right.$
Suy ra $4\pi .\dfrac{16{{r}^{2}}}{9}+2\pi {{r}^{2}}+\pi {{r}^{2}}=91\Rightarrow \pi {{r}^{2}}=9\Rightarrow \pi {{R}^{2}}=16$
Vậy diện tích mặt cầu $\left( {{H}_{1}} \right)$ là ${{S}_{1}}=4\pi {{R}^{2}}=64 c{{m}^{2}}.$
Diện tích toàn phần hình nón $\left( {{H}_{2}} \right)$ là ${{S}_{2}}=\pi rl+\pi {{r}^{2}}$
Theo bài ra, ta có $\left\{ \begin{aligned}
& r=\dfrac{1}{2}l;l=\dfrac{3}{2}R \\
& {{S}_{1}}+{{S}_{2}}=91 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& l=2r;R=\dfrac{4r}{3} \\
& 4\pi {{R}^{2}}+\pi rl+\pi {{r}^{2}}=91 \\
\end{aligned} \right.$
Suy ra $4\pi .\dfrac{16{{r}^{2}}}{9}+2\pi {{r}^{2}}+\pi {{r}^{2}}=91\Rightarrow \pi {{r}^{2}}=9\Rightarrow \pi {{R}^{2}}=16$
Vậy diện tích mặt cầu $\left( {{H}_{1}} \right)$ là ${{S}_{1}}=4\pi {{R}^{2}}=64 c{{m}^{2}}.$
Đáp án C.