Google
Câu hỏi: Một khối nón có bán kính đáy bằng $2cm$, chiều cao bằng $\sqrt{3}cm$. Một mặt phẳng đi qua đỉnh và tạo với đáy một góc $60{}^\circ $ chia khối nón thành 2 phần. Tính thể tích phần nhỏ hơn (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)
A. $2,47c{{m}^{3}}$.
B. $2,36c{{m}^{3}}$.
C. $1,42c{{m}^{3}}$.
D. $1,53c{{m}^{3}}$.
Gọi $O$ là tâm đáy, $S$ là đỉnh của nón; $A,B$ là các giao điểm của mặt phẳng đi qua đỉnh và tạo với đáy một góc $60{}^\circ $ với đường tròn đáy như hình vẽ. Kẻ $OH\bot AB$.
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& OH\bot AB \\
& SO\bot AB \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AB\bot \left( SOH \right)\Rightarrow AB\bot SH$
Lại có $\left( SAB \right)\cap $ đáy $=AB$
Suy ra $\left( \left( SAB \right),\!\!\tilde{\mathrm{n}}\!\!\text{ a }\!\!\grave{\mathrm{u}}\!\!\text{ y} \right)\text{=}\left( SH,OH \right)=\widehat{SHO}$ (vì $\widehat{SOH}=90{}^\circ $ )
Suy ra $\widehat{SHO}=60{}^\circ $ $\Rightarrow OH=SO.\cot 60{}^\circ =1$
Lại có $\cos AOH=\dfrac{OH}{OA}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow \widehat{AOH}=60{}^\circ \Rightarrow \widehat{AOB}=120{}^\circ $
Khi đó diện tích hình viên phân tạo bởi đường tròn đáy và dây $AB$ là $S=\dfrac{\pi {{R}^{2}}.120}{360}-\dfrac{1}{2}OA.OB.\sin 120{}^\circ =\dfrac{4}{3}\pi -\sqrt{3}$
Vậy thể tích cần tính là $V=\dfrac{1}{3}SO.S=\dfrac{1}{3}.\sqrt{3}.\left( \dfrac{4}{3}\pi -\sqrt{3} \right)=\dfrac{4\sqrt{3}\pi }{9}-1\approx 1,42c{{m}^{3}}$
A. $2,47c{{m}^{3}}$.
B. $2,36c{{m}^{3}}$.
C. $1,42c{{m}^{3}}$.
D. $1,53c{{m}^{3}}$.
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& OH\bot AB \\
& SO\bot AB \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AB\bot \left( SOH \right)\Rightarrow AB\bot SH$
Lại có $\left( SAB \right)\cap $ đáy $=AB$
Suy ra $\left( \left( SAB \right),\!\!\tilde{\mathrm{n}}\!\!\text{ a }\!\!\grave{\mathrm{u}}\!\!\text{ y} \right)\text{=}\left( SH,OH \right)=\widehat{SHO}$ (vì $\widehat{SOH}=90{}^\circ $ )
Suy ra $\widehat{SHO}=60{}^\circ $ $\Rightarrow OH=SO.\cot 60{}^\circ =1$
Lại có $\cos AOH=\dfrac{OH}{OA}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow \widehat{AOH}=60{}^\circ \Rightarrow \widehat{AOB}=120{}^\circ $
Khi đó diện tích hình viên phân tạo bởi đường tròn đáy và dây $AB$ là $S=\dfrac{\pi {{R}^{2}}.120}{360}-\dfrac{1}{2}OA.OB.\sin 120{}^\circ =\dfrac{4}{3}\pi -\sqrt{3}$
Vậy thể tích cần tính là $V=\dfrac{1}{3}SO.S=\dfrac{1}{3}.\sqrt{3}.\left( \dfrac{4}{3}\pi -\sqrt{3} \right)=\dfrac{4\sqrt{3}\pi }{9}-1\approx 1,42c{{m}^{3}}$
Đáp án C.