Google
Câu hỏi: Một khối đá có hình là một khối cầu có bán kính R, người thợ thủ công mỹ nghệ cần cắt và gọt viên đá đó thành một viên đá cảnh có hình dạng là một khối trụ. Tính thể tích lớn nhất có thể của viên đá cảnh sau khi đã hoàn thiện.
A. $\dfrac{4\sqrt{3}\pi {{R}^{3}}}{3}$
B. $\dfrac{4\sqrt{3}\pi {{R}^{3}}}{9}$
C. $\dfrac{4\sqrt{3}\pi {{R}^{3}}}{6}$
D. $\dfrac{3\sqrt{3}\pi {{R}^{3}}}{12}$
Giả sử 2x là chiều cao hình trụ $\left( 0<x<R \right)$ (xem hình vẽ)
Bán kính của khối trụ là $r=\sqrt{{{R}^{2}}-{{x}^{2}}}$. Thể tích khối trụ là:
$V=\pi \left( {{R}^{2}}-{{x}^{2}} \right)2x$
Xét hàm số $V\left( x \right)=\pi \left( {{R}^{2}}-{{x}^{2}} \right)2x,0<x<R$,
Có ${V}'\left( x \right)=2\pi \left( {{R}^{2}}-3{{x}^{2}} \right)=0\Leftrightarrow x=\dfrac{R\sqrt{3}}{3}$
Bảng biến thiên:
Dựa vào BBT, ta thấy thể tích khối trụ lớn nhất khi chiều cao của khối trụ là $\dfrac{2R\sqrt{3}}{3};{{V}_{\max }}=\dfrac{4\pi {{R}^{3}}\sqrt{3}}{9}$
A. $\dfrac{4\sqrt{3}\pi {{R}^{3}}}{3}$
B. $\dfrac{4\sqrt{3}\pi {{R}^{3}}}{9}$
C. $\dfrac{4\sqrt{3}\pi {{R}^{3}}}{6}$
D. $\dfrac{3\sqrt{3}\pi {{R}^{3}}}{12}$
Giả sử 2x là chiều cao hình trụ $\left( 0<x<R \right)$ (xem hình vẽ)
Bán kính của khối trụ là $r=\sqrt{{{R}^{2}}-{{x}^{2}}}$. Thể tích khối trụ là:
$V=\pi \left( {{R}^{2}}-{{x}^{2}} \right)2x$
Xét hàm số $V\left( x \right)=\pi \left( {{R}^{2}}-{{x}^{2}} \right)2x,0<x<R$,
Có ${V}'\left( x \right)=2\pi \left( {{R}^{2}}-3{{x}^{2}} \right)=0\Leftrightarrow x=\dfrac{R\sqrt{3}}{3}$
Bảng biến thiên:
Dựa vào BBT, ta thấy thể tích khối trụ lớn nhất khi chiều cao của khối trụ là $\dfrac{2R\sqrt{3}}{3};{{V}_{\max }}=\dfrac{4\pi {{R}^{3}}\sqrt{3}}{9}$
Đáp án B.