Google
Câu hỏi: Một khối cầu có bán kính là 5 (dm), người ta cắt bỏ hai phần của khối cầu bằng hai mặt phẳng song song cùng vuông góc với 1 đường kính và cách tâm một khoảng 3 (dm) để làm một chiếc lu đựng nước (như hình vẽ). Tính thể tích mà chiếc lu chứa được.
A. $\dfrac{100}{3}\pi \left( d{{m}^{3}} \right).$
B. $\dfrac{43}{3}\pi \left( d{{m}^{3}} \right).$
C. $41\pi \left( d{{m}^{3}} \right).$
D. $132\pi \left( d{{m}^{3}} \right).$
A. $\dfrac{100}{3}\pi \left( d{{m}^{3}} \right).$
B. $\dfrac{43}{3}\pi \left( d{{m}^{3}} \right).$
C. $41\pi \left( d{{m}^{3}} \right).$
D. $132\pi \left( d{{m}^{3}} \right).$
Trên hệ trục tọa độ Oxy, xét đường tròn $\left( C \right):{{\left( x-5 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}=25.$ Ta thấy nếu cho nửa trên trục Ox của (C) quay quanh trục Ox ta được mặt cầu bán kính bằng 5. Nếu cho hình phẳng (H) giới hạn bởi nửa trên trục Ox của (C), trục Ox, hai đường thẳng $x=0,x=2$ quay xung quanh trục Ox ta sẽ được khối tròn xoay chính là phần cắt đi của khối cầu trong đề bài.
Ta có ${{\left( x-5 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}=25\Leftrightarrow y=\pm \sqrt{25-{{\left( x-5 \right)}^{2}}}$
Nửa trên trục Ox của (C) có phương trình $y=\sqrt{25-{{\left( x-5 \right)}^{2}}}=\sqrt{10x-{{x}^{2}}}$
Thể tích vật thể tròn xoay khi cho (H) quay quanh Ox là:
${{V}_{1}}=\pi \int\limits_{0}^{2}{\left( 10x-{{x}^{2}} \right)dx}=\pi \left( 5{{x}^{2}}-\dfrac{{{x}^{3}}}{3} \right)\left| \begin{aligned}
& 2 \\
& 0 \\
\end{aligned} \right.=\dfrac{52\pi }{3}$
Thể tích khối cầu là: ${{V}_{2}}=\dfrac{4}{3}\pi {{.5}^{3}}=\dfrac{500\pi }{3}$
Thể tích cần tìm: $V={{V}_{2}}-2{{V}_{1}}=\dfrac{500\pi }{3}-2.\dfrac{52\pi }{3}=132\pi \left( d{{m}^{3}} \right).$
Ta có ${{\left( x-5 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}=25\Leftrightarrow y=\pm \sqrt{25-{{\left( x-5 \right)}^{2}}}$
Nửa trên trục Ox của (C) có phương trình $y=\sqrt{25-{{\left( x-5 \right)}^{2}}}=\sqrt{10x-{{x}^{2}}}$
Thể tích vật thể tròn xoay khi cho (H) quay quanh Ox là:
${{V}_{1}}=\pi \int\limits_{0}^{2}{\left( 10x-{{x}^{2}} \right)dx}=\pi \left( 5{{x}^{2}}-\dfrac{{{x}^{3}}}{3} \right)\left| \begin{aligned}
& 2 \\
& 0 \\
\end{aligned} \right.=\dfrac{52\pi }{3}$
Thể tích khối cầu là: ${{V}_{2}}=\dfrac{4}{3}\pi {{.5}^{3}}=\dfrac{500\pi }{3}$
Thể tích cần tìm: $V={{V}_{2}}-2{{V}_{1}}=\dfrac{500\pi }{3}-2.\dfrac{52\pi }{3}=132\pi \left( d{{m}^{3}} \right).$
Đáp án D.