Google
Câu hỏi: Một khối cầu có bán kính là 5 (dm), người ta cắt bỏ hai phần của khối cầu bằng hai mặt phẳng song song cùng vuông góc đường kính và cách tâm một khoảng 3 (dm) để làm một chiếc lu đựng nước (như hình vẽ). Thể tích chiếc lu bằng
A. $\dfrac{100}{3}\pi \left( d{{m}^{3}} \right)$.
B. $\dfrac{43}{3}\pi \left( d{{m}^{3}} \right)$.
C. $41\pi \left( d{{m}^{3}} \right)$.
D. $132\pi \left( d{{m}^{3}} \right)$.
Cách 1. Trên hệ trục tọa độ $Oxy$, xét đường tròn $\left( C \right):{{\left( x-5 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}=25$.
Ta có ${{\left( x-5 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}=25\Leftrightarrow y=\pm \sqrt{25-{{\left( x-5 \right)}^{2}}}=\pm \sqrt{10x-{{x}^{2}}}$
$\Rightarrow $ Nửa trên trục $Ox$ của $\left( C \right)$ có phương trình $y=\sqrt{10x-{{x}^{2}}}$
Nếu cho nửa trên trục $Ox$ của $\left( C \right)$ quay quanh trục $Ox$ ta được mặt cầu bán kính bằng 5.
Nếu cho hình phẳng $\left( H \right)$ giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=\sqrt{10x-{{x}^{2}}}$, trục $Ox$, hai đường thẳng $x=0;x=2$ quay quanh trục $Ox$ ta sẽ được khối tròn xoay chính là phần cắt đi của khối cầu trong đề bài.
$\Rightarrow $ Thể tích vật thể tròn xoay khi cho $\left( H \right)$ quay quanh $Ox$ là
${{V}_{1}}=\pi \int\limits_{0}^{2}{\left( 10x-{{x}^{2}} \right)dx=\pi \left( 5{{x}^{2}}-\dfrac{{{x}^{3}}}{3} \right)_{0}^{2}}=\dfrac{52\pi }{3}$
Thể tích khối cầu là ${{V}_{2}}=\dfrac{4}{3}\pi {{.5}^{3}}=\dfrac{500\pi }{3}$
Thể tích chiếc lu là $V={{V}_{2}}-2{{V}_{1}}=\dfrac{500\pi }{3}-2.\dfrac{52\pi }{3}=132\pi \left( d{{m}^{3}} \right)$.
Cách 2. Hai phần cắt đi có thể tích bằng nhau, mỗi phần là một chỏm cầu có thể tích ${{V}_{1}}=\pi {{h}^{2}}\left( R-\dfrac{h}{3} \right)=\dfrac{52\pi }{3}$ với $R=5dm,h=2dm$.
Thể tích khối cầu là ${{V}_{2}}=\dfrac{4}{3}\pi {{.5}^{3}}=\dfrac{500\pi }{3}$.
Vậy thể tích của chiếc lu là $V={{V}_{2}}-2{{V}_{1}}=132\pi $.
A. $\dfrac{100}{3}\pi \left( d{{m}^{3}} \right)$.
B. $\dfrac{43}{3}\pi \left( d{{m}^{3}} \right)$.
C. $41\pi \left( d{{m}^{3}} \right)$.
D. $132\pi \left( d{{m}^{3}} \right)$.
Cách 1. Trên hệ trục tọa độ $Oxy$, xét đường tròn $\left( C \right):{{\left( x-5 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}=25$.
Ta có ${{\left( x-5 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}=25\Leftrightarrow y=\pm \sqrt{25-{{\left( x-5 \right)}^{2}}}=\pm \sqrt{10x-{{x}^{2}}}$
$\Rightarrow $ Nửa trên trục $Ox$ của $\left( C \right)$ có phương trình $y=\sqrt{10x-{{x}^{2}}}$
Nếu cho nửa trên trục $Ox$ của $\left( C \right)$ quay quanh trục $Ox$ ta được mặt cầu bán kính bằng 5.
Nếu cho hình phẳng $\left( H \right)$ giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=\sqrt{10x-{{x}^{2}}}$, trục $Ox$, hai đường thẳng $x=0;x=2$ quay quanh trục $Ox$ ta sẽ được khối tròn xoay chính là phần cắt đi của khối cầu trong đề bài.
$\Rightarrow $ Thể tích vật thể tròn xoay khi cho $\left( H \right)$ quay quanh $Ox$ là
${{V}_{1}}=\pi \int\limits_{0}^{2}{\left( 10x-{{x}^{2}} \right)dx=\pi \left( 5{{x}^{2}}-\dfrac{{{x}^{3}}}{3} \right)_{0}^{2}}=\dfrac{52\pi }{3}$
Thể tích khối cầu là ${{V}_{2}}=\dfrac{4}{3}\pi {{.5}^{3}}=\dfrac{500\pi }{3}$
Thể tích chiếc lu là $V={{V}_{2}}-2{{V}_{1}}=\dfrac{500\pi }{3}-2.\dfrac{52\pi }{3}=132\pi \left( d{{m}^{3}} \right)$.
Cách 2. Hai phần cắt đi có thể tích bằng nhau, mỗi phần là một chỏm cầu có thể tích ${{V}_{1}}=\pi {{h}^{2}}\left( R-\dfrac{h}{3} \right)=\dfrac{52\pi }{3}$ với $R=5dm,h=2dm$.
Thể tích khối cầu là ${{V}_{2}}=\dfrac{4}{3}\pi {{.5}^{3}}=\dfrac{500\pi }{3}$.
Vậy thể tích của chiếc lu là $V={{V}_{2}}-2{{V}_{1}}=132\pi $.
Đáp án D.