Google
Câu hỏi: Một hộp sữa hình trụ có thể tích V (không đổi) được làm từ một tấm tôn có diện tích đủ lớn. Nếu hộp sữa chỉ kín một đáy thì để tốn ít vật liệu nhất, hệ thức giữa bán kính đáy R và đường cao h bằng:
A. $h=\sqrt{3}R.$
B. $h=\sqrt{2}R.$
C. $h=2R.$
D. $h=R.$
A. $h=\sqrt{3}R.$
B. $h=\sqrt{2}R.$
C. $h=2R.$
D. $h=R.$
Ta có: Thể tích khối trụ có bán kính đáy R và chiều cao h là: $V=\pi {{R}^{2}}h\Rightarrow h=\dfrac{V}{\pi {{R}^{2}}}$
Diện tích xung quanh và 1 đáy của hình trụ là: $S=2\pi Rh+\pi {{R}^{2}}$
$\Rightarrow S=2\pi .R\dfrac{V}{\pi {{R}^{2}}}+\pi {{R}^{2}}=\dfrac{2V}{R}+\pi {{R}^{2}}$
Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho ba số dương $\dfrac{V}{R};\dfrac{V}{R};\pi {{R}^{2}}$ ta có:
$\dfrac{V}{R}+\dfrac{V}{R}\pi {{R}^{2}}\ge 3\sqrt[3]{\dfrac{V}{R}+\dfrac{V}{R}\pi {{R}^{2}}}=3\sqrt[3]{\pi {{V}^{2}}}$
Dấu "=" xảy ra $\Rightarrow \dfrac{V}{R}=\pi {{R}^{2}}\Leftrightarrow {{R}^{3}}=\dfrac{V}{\pi }\Leftrightarrow V=\pi {{R}^{3}}\to h=\dfrac{\pi {{R}^{3}}}{\pi {{R}^{2}}}=R$
Diện tích xung quanh và 1 đáy của hình trụ là: $S=2\pi Rh+\pi {{R}^{2}}$
$\Rightarrow S=2\pi .R\dfrac{V}{\pi {{R}^{2}}}+\pi {{R}^{2}}=\dfrac{2V}{R}+\pi {{R}^{2}}$
Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho ba số dương $\dfrac{V}{R};\dfrac{V}{R};\pi {{R}^{2}}$ ta có:
$\dfrac{V}{R}+\dfrac{V}{R}\pi {{R}^{2}}\ge 3\sqrt[3]{\dfrac{V}{R}+\dfrac{V}{R}\pi {{R}^{2}}}=3\sqrt[3]{\pi {{V}^{2}}}$
Dấu "=" xảy ra $\Rightarrow \dfrac{V}{R}=\pi {{R}^{2}}\Leftrightarrow {{R}^{3}}=\dfrac{V}{\pi }\Leftrightarrow V=\pi {{R}^{3}}\to h=\dfrac{\pi {{R}^{3}}}{\pi {{R}^{2}}}=R$
Đáp án D.