Google
Câu hỏi: Một hộp có $5$ viên bi xanh, $6$ viên bi đỏ và $7$ viên bi vàng. Chọn ngẫu nhiên $5$ viên bi trong hộp, tính xác suất để $5$ viên bi được chọn có đủ ba màu và số bi đỏ bằng số bi vàng.
A. $\dfrac{313}{408}$.
B. $\dfrac{25}{136}$.
C. $\dfrac{95}{408}$.
D. $\dfrac{5}{102}$.
A. $\dfrac{313}{408}$.
B. $\dfrac{25}{136}$.
C. $\dfrac{95}{408}$.
D. $\dfrac{5}{102}$.
Số phần tử của không gian mẫu là ${\mathbb{R} \backslash\{-m\}}$.
Gọi ${m=16 \Rightarrow \log _2 m=\log _2 16=4}$ là biến cố " chọn 5 viên bi sao cho có đủ cả ba màu và số bi đỏ bằng số bi vàng". TH1: 1 bi vàng, 1 bi đỏ, 3 bi xanh thì số cách chọn là ${\dfrac{1}{2^a}=\dfrac{1}{2^{2 b}}=\dfrac{1}{2^{3 c}}=\dfrac{1}{2^{4 d}}=\dfrac{1}{16} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}a=4 \\ b=2 \\ c=\dfrac{4}{3} \\ d=1\end{array}\right.}$. TH2: 2 bi vàng, 2 bi đỏ, 1 bi xanh thì số cách chọn là ${
\begin{aligned}
&\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{2^a}+\dfrac{1}{4^b}+\dfrac{1}{8^c}+\dfrac{1}{16^d}=\dfrac{1}{2^a}+\dfrac{1}{2^{2 b}}+\dfrac{1}{2^{3 c}}+\dfrac{1}{2^{4 d}} \geq 4 \cdot \sqrt[4]{\dfrac{1}{2^a \cdot 2^{2 b} \cdot 2^{3 c} \cdot 2^{4 d}}}=4 \cdot \sqrt[4]{\dfrac{1}{2^{a+2 b+3 c+4 d}}} \\
&\Leftrightarrow \dfrac{1}{65536} \geq \dfrac{1}{2^{a+2 b+3 c+4 d}} \Leftrightarrow 2^{a+2 b+3 c+4 d} \geq 65536 \Leftrightarrow a+2 b+3 c+4 d \geq 16
\end{aligned}
}$.
Xác suất cần tính là ${a, b, c, d}$.
Gọi ${m=16 \Rightarrow \log _2 m=\log _2 16=4}$ là biến cố " chọn 5 viên bi sao cho có đủ cả ba màu và số bi đỏ bằng số bi vàng". TH1: 1 bi vàng, 1 bi đỏ, 3 bi xanh thì số cách chọn là ${\dfrac{1}{2^a}=\dfrac{1}{2^{2 b}}=\dfrac{1}{2^{3 c}}=\dfrac{1}{2^{4 d}}=\dfrac{1}{16} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}a=4 \\ b=2 \\ c=\dfrac{4}{3} \\ d=1\end{array}\right.}$. TH2: 2 bi vàng, 2 bi đỏ, 1 bi xanh thì số cách chọn là ${
\begin{aligned}
&\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{2^a}+\dfrac{1}{4^b}+\dfrac{1}{8^c}+\dfrac{1}{16^d}=\dfrac{1}{2^a}+\dfrac{1}{2^{2 b}}+\dfrac{1}{2^{3 c}}+\dfrac{1}{2^{4 d}} \geq 4 \cdot \sqrt[4]{\dfrac{1}{2^a \cdot 2^{2 b} \cdot 2^{3 c} \cdot 2^{4 d}}}=4 \cdot \sqrt[4]{\dfrac{1}{2^{a+2 b+3 c+4 d}}} \\
&\Leftrightarrow \dfrac{1}{65536} \geq \dfrac{1}{2^{a+2 b+3 c+4 d}} \Leftrightarrow 2^{a+2 b+3 c+4 d} \geq 65536 \Leftrightarrow a+2 b+3 c+4 d \geq 16
\end{aligned}
}$.
Xác suất cần tính là ${a, b, c, d}$.
Đáp án C.