Một hình trụ tròn xoay có hai đáy là hai đường tròn O,Rvà O', R...

Phương pháp:
- Xác định góc giữa $\left( O'AB \right)v\grave{a}\left( OAB \right).~$
- Đặt h= OO' , áp dụng định lí Pytago và các tỉ số lượng giác của góc nhọn, tính htheo R.
- Diện tích xung quanh của hình trụ có bán kính đáy R, chiều cao hlà: ${{S}_{xq}}=\pi {{R}^{2}}h$.
Cách giải:

Gọi h= OO' là chiều cao của hình trụ.
Gọi Hlà trung điểm của AB.
Tam giác OABcân tại O⇒ OH⊥AB.
Lại có $OO'\bot AB\Rightarrow O'H\bot AB.~$
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& \left( O'AB \right)\cap \left( OAB \right)=AB \\
& \left( ~O'AB \right)\supset O'H\bot AB \\
& \left( OAB \right)\supset OH\bot AB~ \\
\end{aligned} \right.~$
⇒ $\angle \left( \left( O'AB \right);\left( OAB \right) \right)=\angle \left( O'H;OH \right)=\angle O'HO={{60}^{0}}.~$
Xét tam giác vuông $OO'H$ có: $O'H=\dfrac{OO'}{\sin {{60}^{0}}}=\dfrac{2h}{\sqrt{3}}~$ và $OH=OO'.\cot {{60}^{0}}=\dfrac{h}{\sqrt{3}}.~$
Tam giác $O'AB$ đều nên $O'H=\dfrac{O'A\sqrt{3}}{2}~$.
⇒ $O'A=\dfrac{2O'H}{\sqrt{3}}=\dfrac{2.\dfrac{2h}{\sqrt{3}}}{\sqrt{3}}=\dfrac{4h}{3}=AB.~$
⇒ $AH=\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{2h}{3}.$
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông OAHcó:
$OA=\sqrt{O{{H}^{2}}+A{{H}^{2}}}=\sqrt{{{\left( \dfrac{h}{\sqrt{3}} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{2h}{3} \right)}^{2}}}\Leftrightarrow h=\dfrac{h\sqrt{7}}{3}=R\Leftrightarrow h=\dfrac{3R}{\sqrt{7}}.~$
Vậy diện tích xung quanh của hình trụ là: ${{S}_{xq}}=\pi {{R}^{2}}h=\pi .{{R}^{2}}.\dfrac{3R}{\sqrt{7}}=\dfrac{3\sqrt{7}\pi {{R}^{3}}}{7}.~$