Google
Câu hỏi: Một hình nón tròn xoay có đường sinh bằng $a$ và góc ở đỉnh bằng $90^{\circ}$. Cắt hình nón bởi mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua đỉnh sao cho góc giữa $(\alpha)$ và đáy bằng $60^{\circ}$. Diện tích thiết diện bằng
A. $\dfrac{a^2 \sqrt{3}}{2}$.
B. $\dfrac{a^2 \sqrt{2}}{3}$.
C. $\dfrac{2 a^2}{3}$.
D. $\dfrac{3 a^2}{2}$.
Gọi $S$ là đỉnh của hình nón, $O$ là tâm của đáy, $M, N$ là giao điểm của $(\alpha)$ với đường tròn đáy, $I$ là trung điểm của $M N$ và $M P$ là đường kính của đường tròn đáy. Theo giả thiết $\triangle S M P$ vuông cân tại $S$ và thiết diện của $(\alpha)$ với hình nón là tam giác cân $S M N$.
Vì $\triangle S M N$ cân tại $S$ và $\triangle O M N$ cân tại $O$ nên $O I \perp M N ; S I \perp M N$ do đó góc giữa $(\alpha)$ và đáy là $\widehat{S I O}=60^{\circ}$.
Ta có $M P=a \sqrt{2} ; S O=\dfrac{1}{2} M P=\dfrac{a \sqrt{2}}{2}$.
Tam giác $S I O$ vuông tại $O$ nên $\sin 60^{\circ}=\dfrac{S O}{S I} \Rightarrow S I=\dfrac{S O}{\sin 60^{\circ}}=\dfrac{2 \cdot \dfrac{a \sqrt{2}}{2}}{\sqrt{3}}=\dfrac{a \sqrt{6}}{3}$.
Tam giác $S I N$ vuông tại $I$ nên $I N=\sqrt{S N^2-S I^2}=\sqrt{a^2-\dfrac{6 a^2}{9}}=\dfrac{a \sqrt{3}}{3}$.
Diện tích thiết diện là $S_{\triangle S M N}=\dfrac{1}{2} M N \cdot S I=I N \cdot S I=\dfrac{a \sqrt{3}}{3} \cdot \dfrac{a \sqrt{6}}{3}=\dfrac{a^2 \sqrt{2}}{3}$.
A. $\dfrac{a^2 \sqrt{3}}{2}$.
B. $\dfrac{a^2 \sqrt{2}}{3}$.
C. $\dfrac{2 a^2}{3}$.
D. $\dfrac{3 a^2}{2}$.
Vì $\triangle S M N$ cân tại $S$ và $\triangle O M N$ cân tại $O$ nên $O I \perp M N ; S I \perp M N$ do đó góc giữa $(\alpha)$ và đáy là $\widehat{S I O}=60^{\circ}$.
Ta có $M P=a \sqrt{2} ; S O=\dfrac{1}{2} M P=\dfrac{a \sqrt{2}}{2}$.
Tam giác $S I O$ vuông tại $O$ nên $\sin 60^{\circ}=\dfrac{S O}{S I} \Rightarrow S I=\dfrac{S O}{\sin 60^{\circ}}=\dfrac{2 \cdot \dfrac{a \sqrt{2}}{2}}{\sqrt{3}}=\dfrac{a \sqrt{6}}{3}$.
Tam giác $S I N$ vuông tại $I$ nên $I N=\sqrt{S N^2-S I^2}=\sqrt{a^2-\dfrac{6 a^2}{9}}=\dfrac{a \sqrt{3}}{3}$.
Diện tích thiết diện là $S_{\triangle S M N}=\dfrac{1}{2} M N \cdot S I=I N \cdot S I=\dfrac{a \sqrt{3}}{3} \cdot \dfrac{a \sqrt{6}}{3}=\dfrac{a^2 \sqrt{2}}{3}$.
Đáp án B.