Google
Câu hỏi: Một hình nón tròn xoay có độ dài đường sinh bằng 2a, độ dài đường cao bằng a. Gọi S là diện tích thiết diện của hình nón cắt bởi mặt phẳng đi qua đỉnh của nó. Giá trị lớn nhất của S bằng
A. $2{{a}^{2}}\sqrt{3}.$
B. ${{a}^{2}}\sqrt{3}.$
C. $4{{a}^{2}}.$
D. $2{{a}^{2}}.$
Kí hiệu các điểm trên hình nón như hình vẽ, SAB là thiết diện qua trục và SAM là thiết diện qua đỉnh của hình nón. Khi đó $R=OA=\sqrt{S{{A}^{2}}-S{{O}^{2}}}=a\sqrt{3}.$
Ta có sin $\widehat{ASO}=\dfrac{OA}{SA}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow \widehat{ASO}=60{}^\circ \Rightarrow \widehat{ASB}=120{}^\circ .$
Suy ra ${{S}_{SAM}}=\dfrac{1}{2}.SA.SM.sin\widehat{ASM}\le \dfrac{1}{2}.SA.AM.1=2{{a}^{2}}$
$\Rightarrow {{\left( {{S}_{SAM}} \right)}_{\text{max}}}\Leftrightarrow {{S}_{SAM}}=2{{a}^{2}}$, đạt được khi $\widehat{ASM}=90{}^\circ $ hay SAM vuông cân tại S.
Như vậy tồn tại 2 điểm M như thế (vì tính chất đối xứng của hình nón)
Lưu ý:
$\widehat{ASB}\le 90{}^\circ $ thì $M\equiv B\Rightarrow {{\left( {{S}_{SAM}} \right)}_{\text{max}}}={{S}_{SAB}}$, tức là có duy nhất 1 điểm M thỏa mãn.
$\widehat{ASB}>90{}^\circ $ thì $M\in \overset\frown{BC}\Rightarrow {{\left( {{S}_{SAM}} \right)}_{\text{max}}}$ khi SAM vuông cân tại S, tức là có 2 điểm M thỏa mãn.
A. $2{{a}^{2}}\sqrt{3}.$
B. ${{a}^{2}}\sqrt{3}.$
C. $4{{a}^{2}}.$
D. $2{{a}^{2}}.$
Ta có sin $\widehat{ASO}=\dfrac{OA}{SA}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow \widehat{ASO}=60{}^\circ \Rightarrow \widehat{ASB}=120{}^\circ .$
Suy ra ${{S}_{SAM}}=\dfrac{1}{2}.SA.SM.sin\widehat{ASM}\le \dfrac{1}{2}.SA.AM.1=2{{a}^{2}}$
$\Rightarrow {{\left( {{S}_{SAM}} \right)}_{\text{max}}}\Leftrightarrow {{S}_{SAM}}=2{{a}^{2}}$, đạt được khi $\widehat{ASM}=90{}^\circ $ hay SAM vuông cân tại S.
Như vậy tồn tại 2 điểm M như thế (vì tính chất đối xứng của hình nón)
Lưu ý:
$\widehat{ASB}\le 90{}^\circ $ thì $M\equiv B\Rightarrow {{\left( {{S}_{SAM}} \right)}_{\text{max}}}={{S}_{SAB}}$, tức là có duy nhất 1 điểm M thỏa mãn.
$\widehat{ASB}>90{}^\circ $ thì $M\in \overset\frown{BC}\Rightarrow {{\left( {{S}_{SAM}} \right)}_{\text{max}}}$ khi SAM vuông cân tại S, tức là có 2 điểm M thỏa mãn.
Đáp án D.