Google
Câu hỏi: Một hình nón được cắt bởi một mặt phẳng (P) song song với đáy. Mặt phẳng này chia với mặt xung quanh của hình nón thành hai phần có diện tích bằng nhau như hình vẽ. Gọi (N1) là hình nón có đỉnh A, bán kính đáy HM; (N2) là hình nón có đỉnh A, bán kính đáy OD. Tỉ số thể tích của khối nón (N1) và khối nón (N2) là
A. $\dfrac{1}{2}$
B. $\dfrac{1}{8}$
C. $\dfrac{\sqrt{2}}{4}$
D. $\dfrac{\sqrt{2}}{8}$
A. $\dfrac{1}{2}$
B. $\dfrac{1}{8}$
C. $\dfrac{\sqrt{2}}{4}$
D. $\dfrac{\sqrt{2}}{8}$
Ta có mặt phẳng (P) chia với mặt xung quanh của hình nón thành hai phần có diện tích bằng nhau
$\Rightarrow \dfrac{{{S}_{xq\left( {{N}_{1}} \right)}}}{{{S}_{xq\left( {{N}_{2}} \right)}}}=\dfrac{1}{2}$
Ta có $MN//CD$ nên theo định lí Ta-let ta có $\dfrac{AM}{AD}=\dfrac{AH}{AO}=\dfrac{HM}{OD}=k$
$\begin{aligned}
& \dfrac{{{S}_{xq\left( {{N}_{1}} \right)}}}{{{S}_{xq\left( {{N}_{2}} \right)}}}=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow \dfrac{\pi .HM.AM}{\pi .OD.AD}=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow \dfrac{\pi .k.OD.k.AD}{\pi .OD.AD}=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow {{k}^{2}}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow k=\dfrac{\sqrt{2}}{2} \\
& \Rightarrow \dfrac{{{V}_{\left( {{N}_{1}} \right)}}}{{{V}_{\left( {{N}_{2}} \right)}}}=\dfrac{\pi .H{{M}^{2}}.AH}{\pi .O{{D}^{2}}.AO}=\dfrac{\pi .{{\left( k.OD \right)}^{2}}.k.AO}{\pi .O{{D}^{2}}.AO}={{k}^{3}}={{\left( \dfrac{\sqrt{2}}{2} \right)}^{3}}=\dfrac{\sqrt{2}}{4}. \\
\end{aligned}$
$\Rightarrow \dfrac{{{S}_{xq\left( {{N}_{1}} \right)}}}{{{S}_{xq\left( {{N}_{2}} \right)}}}=\dfrac{1}{2}$
Ta có $MN//CD$ nên theo định lí Ta-let ta có $\dfrac{AM}{AD}=\dfrac{AH}{AO}=\dfrac{HM}{OD}=k$
$\begin{aligned}
& \dfrac{{{S}_{xq\left( {{N}_{1}} \right)}}}{{{S}_{xq\left( {{N}_{2}} \right)}}}=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow \dfrac{\pi .HM.AM}{\pi .OD.AD}=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow \dfrac{\pi .k.OD.k.AD}{\pi .OD.AD}=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow {{k}^{2}}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow k=\dfrac{\sqrt{2}}{2} \\
& \Rightarrow \dfrac{{{V}_{\left( {{N}_{1}} \right)}}}{{{V}_{\left( {{N}_{2}} \right)}}}=\dfrac{\pi .H{{M}^{2}}.AH}{\pi .O{{D}^{2}}.AO}=\dfrac{\pi .{{\left( k.OD \right)}^{2}}.k.AO}{\pi .O{{D}^{2}}.AO}={{k}^{3}}={{\left( \dfrac{\sqrt{2}}{2} \right)}^{3}}=\dfrac{\sqrt{2}}{4}. \\
\end{aligned}$
Đáp án C.