Google
Câu hỏi: Một hình nón có đỉnh S, đáy là đường tròn $\left( C \right)$ tâm O, bán kính R bằng với đường cao của hình nón. Tỉ số thể tích của hình nón và hình cầu ngoại tiếp hình nón bằng:
A. $\dfrac{1}{2}.$
B. $\dfrac{1}{3}.$
C. $\dfrac{1}{4}.$
D. $\dfrac{1}{6}.$
Vì hình nón có bán kính R và chiều cao h bằng nhau nên $h=R$ và thể tích hình nón đã cho là ${{V}_{n}}=\dfrac{1}{3}\pi {{R}^{2}}h=\dfrac{1}{3}\pi {{R}^{2}}.R=\dfrac{1}{3}\pi {{R}^{3}}$
Cắt hình nón bởi mặt phẳng đi qua trục ta được thiết diện là tam giác cân SAB có $SH=h=R=HB=\dfrac{BA}{2}$ nên $\Delta SAB$ vuông tại S. Khi đó H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB và H cũng là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình nón đỉnh S.
Nên bán kính mặt cầu là $HS=R$ nên thể tích hình cầu này là ${{V}_{c}}=\dfrac{4}{3}\pi {{R}^{3}}.$
Suy ra $\dfrac{{{V}_{n}}}{{{V}_{c}}}=\dfrac{\dfrac{1}{3}\pi {{R}^{3}}}{\dfrac{4}{3}\pi {{R}^{3}}}=\dfrac{1}{4}.$
A. $\dfrac{1}{2}.$
B. $\dfrac{1}{3}.$
C. $\dfrac{1}{4}.$
D. $\dfrac{1}{6}.$
Vì hình nón có bán kính R và chiều cao h bằng nhau nên $h=R$ và thể tích hình nón đã cho là ${{V}_{n}}=\dfrac{1}{3}\pi {{R}^{2}}h=\dfrac{1}{3}\pi {{R}^{2}}.R=\dfrac{1}{3}\pi {{R}^{3}}$
Cắt hình nón bởi mặt phẳng đi qua trục ta được thiết diện là tam giác cân SAB có $SH=h=R=HB=\dfrac{BA}{2}$ nên $\Delta SAB$ vuông tại S. Khi đó H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB và H cũng là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình nón đỉnh S.
Nên bán kính mặt cầu là $HS=R$ nên thể tích hình cầu này là ${{V}_{c}}=\dfrac{4}{3}\pi {{R}^{3}}.$
Suy ra $\dfrac{{{V}_{n}}}{{{V}_{c}}}=\dfrac{\dfrac{1}{3}\pi {{R}^{3}}}{\dfrac{4}{3}\pi {{R}^{3}}}=\dfrac{1}{4}.$
Đáp án C.